SÉANCE DU 3 JANVIER 1921. 21 



pression 



ds" =: E du- -T- 2 F du c/c 4- G (^i''. 



Je considère l'équation aux dérivées partielles relative à V 



= c{u,v)s/EG — V'\ 



Celte équation correspond, pour c(//, <■) toujours positif, à un problème 

 d'équilibre calorifique avec rayonnement de la surface, Y désignant la 

 température. Nous désignerons dans la suite le premier membre de l'équa- 

 tion précédente par AV. 



3. En nous bornant ici au cas de c = i, envisageons l'équation 



(i) AV = /.s KG — F- V, 



où X est un paramètre constant. < )n peut établir qu'il existe une infinité de 

 valeurs singiilirres de A toutes négatives ( A = o est la première d'entre elles), 

 pour lesquelles il existe une ou plusieurs intégrales, uniformes et non iden- 

 tiquement nulles, de l'équation (i) et partout continues sur la surface. 



Une application immédiate est relative à la sphère de rayon un. 



L'équation (1) est alors 



cos9 --jr -h sinô— — -+- -^-^ --— r= /sin9V 

 dd da- Hin9 d'y- 



en se servant des coordonnée? polaires et -p sur la sphère. On trouve faci- 

 lement que les valeurs singulières sont 



/. r= — /i(/i H- 1), 



/i étant un entier positif, et pour celte valeur de A, il y a 2/i + i fondions V 

 linéairement indépendantes; ce sont les fonctions \„ de Laplace. 



Le cas du tore est à examiner après celui de la sphère. En désignant 

 [)ar r le rayon du cercle méridien, et par R la distance de son centre à l'axe 

 de révolution (R > r), l'équation (1) est ici 



• ,,. ..à-y ■ ,r, ^ '^y (^'^ 1 / rj s »• 



-(K — rcoi'j)-^—: + iin'jj(n — /-coscp)— \- r-—- := /(H — rcosQ>)r\ . 



r ' à'j- ' 09 d'\i- 



où et 'I représentent deux angles dont la signification géométrique est 

 évidente, et qui varient de o à 2-. < )n pourrait rechercher les valeurs 

 singulières de A correspondant à cette équation et les fonctions corres- 



