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pondantes. Le cas particulier où V ne dépend que de o conduit à l'équation 

 dilTérentiellc linéaire ordinaire 



" (R — /■ coso)- —r-r -+- si M -.^ ( H — /co-'j) -;- — '/./■{[{ — r cos'j)\ = o. 



/• ' ao' (l'o ' ' 



Cette équation donne un exemple simple d'équation diiïérenlielle linéaire 

 ayant, pour certaines valeurs d'un paramètre A, une solution périodique. 



4. D'autres problèmes peuvent se poser relativement à l'équation (i). 

 Tout d'abord, si À dans cette équation n'a pas une valeur singulière, il y 

 aura une solution uniforme sur la surface et partout continue, sauf en un 

 point où elle aura un infini logarillimique correspondant à une source de 

 clialeur avec un flux donné. 



Soit maintenant X„ une valeur singulière pour la(|uelle l'équation 



{■i) AV = 7„v'KG-F^V 



admet une ou plusieurs intégrales continues sur toute la surface. Soient de 

 plus donnés n points sur celle-ci 



(fl„6,), {a,_,b,) (e>,„/>„) 



et les coefficients respectifs 



A,, A,, 



Existe-t-il une intégrale de l'équation (2), ayant les points singuliers 

 («,, bj), du type des sources de clialeur, avec le flux A, ? 



La réponse à cette question est la suivante : -En désignant par 



V|, V, \', 



les V solutions partout continues, linéairement indépendantes de l'équa- 

 tion (2), la condition nécessaire et suffisante s'exprime par les v relations 



\,\',(/U, ^', )+ A,V,(«., A,) -+-... 4-A„\,(rt,„ ^,) = o. 



où / prend ks valeurs i, 2, . . . , v. 



."). Pour prendre un exemple particulier, revenons au tore dont j'ai dit 

 plus haut un mot. il revient au même de considérer les solulions double- 

 blement périodiques de l'équation 



.„, 0'\ 0'\ .. 



or- Oy 



nous faisons X = i ([ui n'est pas une valeur singulière. I^c premier problème 



