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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su7- cerlaïnes équations diJjl'érr/itirUes 

 linéaires complètement intégrahles. Note de M. Axgelesco, pré- 

 sentée par M. Appell. 



1. LeiMME. — PC'^") ^' Q(^') ^'''?"' (leur polynômes quelconques m x 

 respectivement du degré p et du degré </, p > q, r expression 



r '^'/ ir., /^'P '/''"''v* 



/ — 



, ^„ /7i(//? — i). . .(m — « + i) , , , 



o<< L = est un polynôme du degré n — q. 



"' l .1. . .11 ■' O 1 1 



Pour^ = I. la proposition est évidente. Supposons ce lemme vrai pour Q 

 un polynôme quelconque du degré q\ nous allons montrer qu'il lest aussi 

 pour Q un polynôme du degré </ + i. Considérons pour cela l'expression 



d\i 

 ct.v 



(2) (/j-7)E~(.r-o:)- 



où a est une constante arbitraire, expression qui est, d'après nos hypo- 

 thèses, un polynôme du degré p — q — i. Si nous ordonnons l'expres- 

 sion (2) d'après les dérivées successives de P, le coefficient de (— i)'-/-? 

 sera 



En tenant compte que 



on voit facilement que ce coefficient (3) peut s'écrire 



cr 



<r/x'/+'- 



De sorte que l'expression (2), qui est un polynôme de degré/; — (7 + i)- 

 se met précisément sous la forme (i). où q est remplacé par y -(- i et Q 

 par (x — ».)(). 



2. Nous allons nous servir de ce lemme pour former et intégrer une 

 classe d'équations dilTérenlielles linéaires. 



Supposons que l'équalion Q(.r)=^o a loutes ses racines distinctes et soient 

 a,, a^, ..., a^ ces racini's. Si dans l'expression lî nous faisons P = (.r — a,)'', 

 a, étant une quelconque de ces racines, on voit que chaque terme de celte 



