SÉANCE DU 3 JANVIER I921. 4l 



somme est divisible par ( ;r — 'J-,)''"''' ' ; mais d'après notre lemme, l'expres- 

 sion M est un polynôme du degré /j — q, il résulte, dans ce cas, que V. doit 

 être idenliquemenl nulle. Donc l'équation diiïérentielle linéaire 



a pour intégrale parliculière ( r — 7.,)''. Par suile son intégrale générale 



sera 



y = C,(.r- a,)/'+ C-(.î^ - «2)" + . • • + C,,(.p - a,,)". 



Cas (les racint's égnh's. — Ce cas se traite immédialemcnt, soit par la 

 méthode de d'Alembert, soit à l'aide de notre lemme. 



Supposons, en effet, que x, soit racine double de Q(^) = o. Alors si nous 

 remplaçons dans E, P par (C.r -h C) (o^ — a,)''-', C et C étant deux 

 constantes arbitraires, cette expression est encore identiquement nulle. Par 

 suite, les deux intégrales particulières de l'équation (/|) correspondant à 

 la racine double a,-, sont x(x ~ x,)''"' et {x — o^,)''~', ou bien (a; — a,)'' et 

 (.r — y./)'' '. Si 3c, était une racine multiple d'ordre s, les s inlégrales parti- 

 culièr.is correspondantes sont {x — 7./)'', {x — •x,)''-"', ..., {x — dc,- )''"*"*"' . 



Extension. — Dans l'équation (4) nous avons supposé jusqu'à présent 

 p entier; cette restriction n'est pas nécessaire : p peut être une quantité qiu-1- 

 co/ique. Carie premier membre de (4) devient, en remplaçant_/par (.r — a,)'', 

 un polynôme du degré q en p qui est nul pour toutes les valeurs entières 

 de p supérieures à q. Ce polynôme doit donc être identiquement nul. 



Cas limite. — Soit 



Q(.r) = A^/.rî-i- A,,_, j"/-' + . . . + Â„. 



Si nous faisons dans l'équation différentielle (4) le changement r =: — - 

 et si, après avoir divisé par/»'', nous faisons croître /> indéfiniment, l'équa- 

 tion (4) se réduit à l'équation différentielle à coefficients constants 



. d'iy di-'y . 



Nous retrouvons l'intégrale générale de cette équation en écrivant l'inté- 

 grale générale de léquation (4) sous la forme 



■= G, I + -^ 4_ C', I + -^ + . . . + C, . + 



et en faisant croître p indéfiniment. 



