SÉANCE DU 14 KÉVRIER 192I. 357 



foyers serait rejeté ;i l'infini et pour lesquelles on ne pourrait définir un plan 

 moyen. 



Soit S une surface quelconque, non développable, enveloppe d'un plan II. 

 Désignons par a;,, x.j,, a;^ les coordonnées du point M(.r) qui décrit la 

 surface S, par X,, X., X3 les cosinus directeurs de la normale en M. Il 

 s'agit de déterminer, dans le plan II, un point l'( = ) qui soit le centre do la 

 congruence sur la droite D passant par P et perpendiculaire au plan II. 



Supposons la surface S rapportée à deux familles de lignes para- 

 métriques C„, C^, quelconques. Les deux vecteurs, dont les paramètres 

 directeurs sont -^ et -p respectivement, sont parallèles au plan II et ne 

 sont pas parallèles l'un à l'autre. Les coordonnées d'un point P(z) quel- 

 conque du plan n peuvent alors être exprimées sous la forme 



^ ' du ^ âf 



La condition pour que le point P soit le centre de la congruence sur D 

 peut s'écrire comme suit : 



\^ àz dX\ \^ âX d3\ 

 ^ ' \ au ai' \ \ ou or I 



Les deux termes figurant au membre gauche de cette relation désignent 

 des déterminants dont on obtient les trois lignes en affectant aux X et aux z 

 les indices i, 2, 3 successivement. 



Si, dans l'équation (2), on substitue à :; la valeur (i), on trouve une 

 relation qui peut être réduite à la forme suivante : 



,. dX dx I 



^,^ ô r !.. ^X dXU d \p\^ dX dX\-\ \ dx dX\ \ dX 



(3) -r- « X,-T-) -rr-\ H-T-pP^i-r-'T- +Xî-r-' -irH--^iT~ 

 du\_ \ du di'W dv\^\ 'du dv \\ \ du dv \ \ 'du 



Désignons par H et par K la courbure moyenne eî la courbure totale de 

 la surface S, par E, F, G les coefficients habituels de Gauss, par w la 

 quantité 



w = ^EG — F-. 



L'équation (3) prend alors la forme très simple 



(4) ^(aKa)) + jJ;([3Kco) + Hoj:rzo. 



Des quantités a et [3 on peut donc choisir l'une arbitrairement; l'autre se 

 trouvera ensuite déterminée par une quadrature. 



