358 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'équation (4) donne lieu à plusieurs remarques intéressantes. Tout 

 d'abord, on voit que si l'on connaît une solution (a, , p, ) de cette équation, 

 on peut, sans quadrature, déterminer toutes les solutions sous la forme 



I âo or, l ÔJ 



Ko) i)^- ^ \\',\ du 



cp étant une fonction arbitraire de a et de c. En pailiculier, si le point P(r) 

 décrit la surface moyenne d'une certaine congruence C, le centre P( s) de 

 toute congruence ayant même plan moyen que C sera déterminé par les 

 formules 



1 [ù-a dS. tjy ()\\ 



^''' " ~-^ "•" I rJ\ <^.\ I V j7' Ou ~ ôii 7Â^ ) ' 



Si l'enveloppée moyenne S est une surface minima, le point MO') qui 

 décrit cette s,urface est le centre de la congruence des normales de S. La 

 formule (5) détermine donc toutes les congruences de droites admettant 

 comme enveloppée moyenne une surface minima donnée. 



Appelons caractérislique principale d'une congruence la droite Ml' qui 

 joint les deux points qui se correspondent sur l'enveloppée moyenne et sur 

 la surface moyenne. L'équation (4) fournit encore la solution du problème 

 suivant : Déterminer toutes les congruences de droites dont les caractéris- 

 tiques principales enveloppent, sur l'enveloppée moyenne S, une famille de 

 courbes donnée F. En effet, clioisissons sur S comme lignes paramétriques 

 la famille C„, conjuguée des trajectoires ortbogonales de F, et une seconde 



famille C,, quelconque. Le vecteur — est alors parallèle à la tangente de F 



et il suffit de poser dans la formule (/j) p = o, pour avoir la solution 

 cherchée : 



V étant une fonction arbitraire de v. 



Parmi les congruences déterminées par (4) on peut rechercher quelles 

 sont les congruences de normales. Si l'on rapporte la surface S à dcu.v 

 familles de lignes paramétriques dont la représentation sphérique forme un 

 système isotherme, on trouve la solution suivante : 



,. Ô'a ^.. ÛQ 



y. K fj) ;:3 -;— ; p K 'jj =; -r-^ » 



au ^ dv 



