SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1921. 433 



une valeur non caractérislique de X, d'une solution 9(j'), bornée sur V. On 

 en oonclul immédiatement que cp(j') — fi-'^') est holomorphe dans D. 

 Dès lors, en posant 



NU^HSS'^-i' f^^^-^=l' 



et en prenant pour F un cercle de rayon p, centré en .r = o, sur lequel je 

 supposerai que le développement de N(.r, -j converge absolument; 

 (i) équivaut formellement au système d'équations 



(3) j:„—l'^a,„:J-„=Cp, 



les œ„ étant les coefficients de Tayior de 9(^7). Ceci étant, j'appellerai, 

 d'une manière générale, fonction génératrice d'une solution quelconque 



(a;,, a;,, ..., x, ) du système (2) la fonction 9(0?) =V^-„a;" et solution 



n = l 



régulière de (2) toule solution qui est aussi solution de (i). Je puis alors 

 énoncer le lliéorème suivant : 



La solution unique de l'équation (i) est aussi solution de (2). fm'erscment, 

 toute solution de (2^ telle que sa fonction génératrice converge dans un cercle 

 de rayon supérieur à p est solution de (^1) et par suite est unique. 



On voit que si l'on connaît la nature analytique de N f .r, -j et de/(x), 

 on connaîtra, sans avoir explicitement résolu le système (2), les inconnues x„ 

 par l'intermédiaire de leur fonction génératrice, dont nous connaîtrons 

 intégralement ou partiellement le domaine d'existence suivant la nature 

 de N /a', - j • On sait que pour un grand nombre d'applications les rensei- 

 gnements obtenus de cette manière sur les solutions régulières x\, sont les 

 renseignements essentiels. 



En tirant parti de ce que les hypothèses faites au début sur les a^,„ et 

 les Cj, peuvent être satisfaites pour plusieurs valeurs de p, on peut énoncer 

 le corollaire suivant : 



Si les hypothèses faites sur les a^,„ et les c^ sont satisfaites quel que soit p, 

 compris entre deux nombres fixes p, et p., qui peuvent être o et ao, la 

 fonction génératrice de la solution régulière aura un rayon de convergence 

 au moins égal à p,; les fonctions génératrices des solutions non régulières 

 auront un rayon au plus égal à p, . 



