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Au point de vue de la théorie des délerminanis infinis, les hypothèses 

 faites sur les n^,,, montrent que le déterminant infini du système (2) est 

 normaloïde au sens de M. von Koch. 



La discussion précédente s'applique au nombre bien déterminé de solu- 

 tions de l'équation homogène (i) pour une valeur caractéristique de A. 

 Pour donner un exemple très simple, je citerai l'équalion 



■^ 1T.lJy{Z-UX)" 



" < I . 



qui n'admet aucune solution. Donc le système correspondant a toutes ses 

 solutions singulières et leur fonction génératrice a un rayon de convergence 

 nul. 



ALGÈBRE. — Résuliilion de Véqwiliun inilélcrminée 

 qX' — p\-y^ «\Y--t- V3=i. 



Note do M. Boris Delaunay, transmise par M. HadamaiJ. 



1. Soit a la racine réelle de l'équation cubique a^ = nvr -F-/>a 4- '/. Avant 

 tout il faut calculer l'unité fondamentale £„ de l'anneau 0(a), ce qu'on fera 

 par la méthode de Woronoï. Soit î„ = «a- -+- èa -4- c cette unité (celle 



entre t, -, — i, — - qui donne o <<£„<; i ), alors toutes les solutions (X,Y) 



seront les puissances e'J' ou e^'", avec des exposants entiers positifs m, qui 

 seront binômes, c'est-à-dire de la forme Pa -f- i). 



'2. Nous appellerons l'unité réduite s'il n'y a pas de nombre À tel que a 

 soit divisible par A' et b par A; au cas où cela se rencontrerait, nous adjoin- 

 drions À à a en remplaçant a par a --^ Aa. 



Théorème. — Aucune puissance de l' unité réduite (ic.-+ hy. -1- r ne peut être 

 binôme s'il y a un nombre premier impair t. qui est diviseur conimlm ck' <i et b. 

 Soit (a7.^ H- 07. + c)'" = Px -I- Q, en remplaçant a par ^ — ■/, et en posant 



X = — —, où a = oa, ; b = o/>, et (^/,, A, ) =^ i [nous désignerons par (x, c) 



le plus grand commun diviseur], nous oblenons (op- -+- t)'" = P'p + Q', 

 où p = 2a, P, = (a, b), «7 =: !^a,e — cb'^. Nous avons (0, c) = i, puisque 

 (a, è, c)^T, et (0, «,) = i, puisque l'unité est réduite, et nous voyons 

 que (0, cr) ne peut être qu'un diviseur de 4, fl alors si a un diviseur pre- 

 mier impair -, (-, 7) = 1 . Posons (0:'"'+ a-)"'= M'p--i- P'p + (/,- alors 



