/i36 ACADÉMIE DES SCIENCES 



dans le premier cas, x,, j^, .r., sont des nombres entiers réels, 



T, = , Zi= a .î-,- ■+- h j-, + (■ ; 



dans le second cas a-, seulement est réel et oc.,= [i', j-., — j5" sont des racines 

 imaginaires de la congruence considérées par Woronoi (1894) ('). 



4. Abordons l'algorithme de rchaiissemeju . Calculons, pour cela, le 

 nombre — a,x + i, -1- «,« où a = Ort,, b= oh, et où (a,, b,) = 1, et soit 

 >'• = ^( — «I y- -I- l>, -h a,u) sa norme; tous les P des solutions doivent être 

 divisibles par z. Soit t. un diviseur premier de x : il faut savoir s'il est de 

 deuxième espèce; pour cela, trouvons la première puissance 



sï=Mjj.s<--H l\j,a + (),,,. 

 dans laquelle M^ et P^,, sont divisibles par - ; u. sera un diviseur du nombre 

 ~ — 1 si / - I = H- I , ou bien de -- — i si ( — j = — i , dans le cas excep- 

 tionnel où - divise D, a sera diviseur de ~^ — t., si - n'est pas diviseur de 

 l'indice de y., au dernier cas tout à fait exceptionnel a peut être plus grand, 

 mais il est toujours facile de le trouver. Si n'est pas une puissance de 2, 

 ou bien si -1^2 et que M|^ne soit pas divisible par --, le théorème du para- 

 graphes montre qu'il n'y a pas de solutions. 



■ La non-divisibilité de M^^ par -= est donc le critère d'arrêt pour l'algo- 

 rithme de rehaussement. Si M^^eo (niod-r:-) nous passons dans l'anneau 

 0(a)^ 0(7:7.), et nous y cherchons de la même manière de nouveaux 

 multiplicateurs û, que nous essayons de nouveau au point de vue de leur 

 espèce envers t„, et ainsi de suite jusqu'à ce que : ou bien, à un certain 

 moment, l'unité fondamentale d'un anneau soit binôme, et alors nous avons 

 la solution et il n'y en a plus; ou bien se rencontre un nombre - de première 

 espèce (c'est le critère d'arrêt), alors il n'\ a pas de solutions du tout. Si 

 le nombre 7: est trop grand, nous emploierons les critères du paragraphe 3. 



5. .Soit — ay. -^ h -^ an une unité, alors notre forme est équivalente à 

 une forme qui a ses deux coefficients extrêmes égaux à i, et dont la racine 

 est £„. Nous appelons une telle forme fondamentale réversible. Soit celte 

 forme (i, — p, n, i). Dans ce cas nous trouvons /.— N(£' + £'), et nous 

 passons aux deux équations (x% — py.^, n/., 1)^ 1 et (7.% n/.-, — p/.. 1) = i 

 qui ne se réduisent déjà pas à des formes réversibles et que nous résolvons 

 comme au paragraphe précédent. Toutes leurs solutions donnent toutes les 

 solutions de (i, — p, n, i) = i. 



(') WoitONOï, Sur les nombres algébriques entiers dépendant de la racine de 

 l'équation cubique. SaiiU-l'olersbourg, iSç)4" 



