SÉANCE DU 21 l'KVUIER I92I. f\Z'] 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains modes de dèterininalioii des solutions 

 de \ii = m'-u. Noie de M. Georuks Boumga.xd, présenléo par .M. E. 

 (ioursal. 



.Fai donné, ici iiièinc ('), quelques [)i'oposilions relatives à la délerini- 

 nalion unique d'une solulion de Au = ku, dans un domaine infini, par ses 

 caractères aux points très éloignés, el par ses valeiirs à la frontière. Il y a 

 intérêt à ne pas s'en lenir, comme je l'ai fait jusqu'à présent, à la considé- 

 ration exclusive des solutions partout bornées. Soil un domaine D de 

 frontière S, non singulière à dislance finie; D possède un nombre limité de 

 branches infinies, de genre fini. Soil une solution de 



.}'U J-U O'I] 

 o.c- Or- dz- 



analytique dans D, nulle sur S. Quel ensemble de conditions suffit-il de lui 

 imposer aux points 1res éloignés de D pour affirmer qu'elle y est partout 

 nulle ? On peut ado()ter deux points de vue bien distincts : 



1" ( )u bien chercher des propositions s'appliquant collectivement à tous 

 les domaines ou tout au moins à des classes très étendues de domaines; 



2° Ou bien, se limitant aux domaines dont l'ensemble des points à l'infini 

 répond à quelque hypothèse bien précise, chercher pour eux seuls des 

 critères d'unicité, moyennant des conditions moins restrictives. 



Lorsque co n'est pas nul, on gagne relativement peu de précision lorsqu'on 

 passe du premier ordre d'idées au second. Voici en effet, quant au premier 

 point de vue, un théorème qui résulte aisément de mes recherches précitées : 



Une solution de (i), nulle sur S, analytique dans D, est nulle en tout 

 point P de ce domaine, si Von a | Up| <C/(>')^ '" désignant la distance de P à 

 un point Jixc ijuelconque et /{r) une fonction telle que le produit 



re-""'f{r) (oj > o 1 



tende vers zéro lorsque /• augmente indélinimi;nl . 



Il en sera ainsi, par exemple, si _/(/") est de la forme Ar'"' , eu, désignant 

 un nombre positif inférieur à w. 



Essayons maintenant, en nous ralliant au second [loint de vue, d'obtenir 

 des résultats plus précis. Supposons que chaque branche de D, à partir 



(') Comptes rendus, t. 169, 1919, p. 893 et 10:10. 



C. K., lyîi, I" Semestre. (T. 172, N- 8.) ^^ 



