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d'un cerlain moincnl, soil limilée par un cylindre, c'est là une hypolhèse 

 favorable à noire ohjel aciuel, et à lacjuetlc on peut appliquer le dévelop- 

 peiiienl indiqué dans ma thèse (') pour loule solution U de (i), analytique 

 dans un cylindre, au delà d'une certaine section droite et nulle sur sa 

 surface. Ce dévelop])ement procède suivant les fonctions fondamentales de 

 la section droite, les coefficients sont des fonctions exponentielles de la 

 dislance de P à une section droite fixe n. 



Supposons que P s'éloigne indéfiniment sur une parallèle aux géné- 

 ratrices : la croissance de Dp sera le moins rapide possible si. à partir de 7, 

 Up garde un signe constant. Soit p la projection de P sur t, on a alois une 

 expression asymptolique de Up au moyen de la fonction fondamentale et de 

 la constante caractéristique de rang un : 



Up=H9,(/<)^v»^^"V'^_£, 



î tendant vers zéro lorsque P s'éloigne indéfiniment . De là résulte un crité- 

 rium d'unicité, spécial aux domaines à tranches cylindriques, facile à 

 énoncer, et dépassant en précision le théorème collectif indiqué plus haut. 

 En même temps, ces considérations conduisent à nne proposition inté- 

 ressante en elle-même. Elles montrent qu'une solution de (i), analytique et 

 positive dans un domaine à branches cylindriques, nulle sur sa frontière et 

 tendant vers zéro à l'infini dans toutes les branches, sauf une, est déter- 

 minée à un facteur constant près. D'où il suit qu'une solution de (i), ana- 

 lytique et positive en D, nulle sur S, a une expression générale de la forme 



C,U,(t>)+...+ C„U„(I'), 



C,, . . . , C„ désignant des constantes positives arbitraires en nombre égal à 

 celui des branches. 



Mais ce cas est bien particulier el c'est seulement lors(jue les diverses 

 branches infinies de D seront suffisamment « é/m/wev » (jue nous pourrons 

 espérer gagner en précision sur l'énoncé du théorème collectif. On s'en rend 

 parfaitement compte en étudiant le cas d'un domaine à branches infinies 

 coniques, et l'on est conduit dans celle hypothèse à un résultat négatif, à 

 savoir l'absence de critère d'unicité spécial, (juelle (jue soit la petitesse des 

 angles solides des diverses branches. Si, en effet, on étend à une branche 

 conique l'analyse exposée plus haul pour une branche cylindrique, on 



(') Sur les foiKlio/is (le Gree/t el de Neiiinanii {HiilUuin de la Société iiialhé- 

 inaliijiie de Fiance, 1914. \o)e/. priDcipaleinent le 11° 17). 



