SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1921. 5o5 



Le nombre des représentai ions primilis'es ou non, de m impair, par l'expres- 

 sion 



2{u-i -^ jc-,) + ■'.{x'I -i- .r} ) + .c? -H a-J 



est 



'.2«'(^)- 



On obtient, de la même façon : 



Le nombre des représentations de m impair par 



j.'\ + .c\ -\- xl+ xl + i{xl-\- xl ) 

 est 



Ces deux ttiéorèmes ont été donnés, sans démonstration, par Liouville 

 (^Journal de Mathématiques, 1" série, t. 9). 



3° /=xxo + 77o-1- 3:;o, S — 2,xx^-\r'iyyf,+ z:o, 12 = 1 , A = 3. 



Il y a une autre forme proprement primitive, du même ordre, non équi- 

 valente: 



La forme if'= 2y/„ -+- j;„ -i-y„: 4- 2zc„ admet 6 automorphies; /' en 

 admet donc 4 >< 6 = 24 ; / admet Sa automorphies. D'où le théorème : 

 Soient N,„ et N^„ les nombres des représentations de m, impair, prender à 3 



par les expressions 



j;^ -h j- 4- -- -h ^- 4- 3 «- + 3 r- 



et 



X- -\- y-+ 2 c- 4- 2 ; " 4- 2 ?/- 4- 2 /- + 2 <(• H- 2 (-•-. 



On a, entre N„, et lS',„ la relation 



3N,„.4N;.= 8[,',+(=^)]V„.(^). 



III. Représentations d'un ENTIER (champ y' — 2). — 1. Cas de lu impair. — 

 Les formes/et § ont leur discriminant impair, et sont par suite proprement 

 primitives. Le nombre des représentations propres par les § de ?n positif, 

 premier à 2i2A, est {m =jo'p'*'. . .) 



[M(l>«0 + M'(-^'")]'«[>-(=^)^3] 



