SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1921. SoQ 



Uvec la seule condilion 



Il -r r + \v -{- t 7E1 (I (mod2) 



OU a', impair. 



Soit N., le nombre de ces représentations. 

 La formule du n" 3 donne 



"-^-K-'l-'lS"'! 



On en déduit une formule de Liouville, en distinguant dilTérenls cas. 

 1° /« :^ 5 (mod.8). — N, est le nombre des décompositions 



(i) ' //; = .r'-H- j'+ ;- 4- /'+ «-+ 2r-, 



OÙ / et n ont même parité, c'est-à-dire où .r-f-y + ; est impair. Or, les 

 décompositions (i) sont de trois espèces : 



1. Celles où V est pair, a-, v, z, (, u impairs. Soit X leur nombre; 



2. Celles où (' est pair, un seul des a-. ..« impair. Soit Y leur nombre; 

 .3. Celles où r est impair, trois des x. . .u impairs. Soit Z leur nombre. 

 Quelles sont celles de ces décompositions où .r -\- y -^ z est impair? 



D'abord, toutes les décompositions 1, en nombre X; parmi les décomposi- 

 tions 2, celles où le carré impair figure parmi les trois premiers; leur 



nombre est -Y. 



D 



Parmi les décompositions 3, il faut prendre celles où un ou trois carrés 

 impairs figurent parmi les trois premiers; leur nombre est — Z. 



On a donc 



N,=::X + ^Y + ?Z. 



Quant à No, c'est le nombre des décompositions (i) où x est impaii 

 La relation entre N, et N. est 



, - 5 - ^ . 



D autre part, \ =î: -X. Soit, en elTet, \' le nombre des décompositions 2 



où le carré impair est le premier; Y'= -• On a X = 2 Y', car dans une 



^décomposition 1. on peut remplacer la somme des quatre carrés impairs 

 qui suivent le premier par une somme de quatre carrés pairs, et l'on sait 

 que le nombre des décompositions de 8 M -i- 4 en quatre carrés impairs est 



