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double de celui des décompositions en quatre carrés pairs. On en conclut 

 X = 2 y, et, par suite, X = r \ . 



On a ainsi Z' = 5 X. Prenons, en efFet, les décompositions 3 en nombre Z', 

 où les trois carrés impairs sont les premiers; Z'= — Z. Soit une de ces 

 décompositions : 



>n=J\+Jl+jl-'^-^l + ^l + yl (//impair, ro, pair). 



Puisque m i^ 5 (modS) il faut que 



ro, = 2/ii. m2=2«2, avec /;, + «2 pair. 

 Alors, 



m =j\ +y I + Jl -t- 'i ( «, H- /) 2 )- + 2 ( /i , — « 0^ + ay i 

 ou 



Ce qui est une décomposition 1. Une Z' donne ainsi deux décomposi- 

 tions 1. D'où 



\ — i7J et \=^Z. 



o 



Il y a ainsi entre X, Y, Z, N,, No, cinq relations qui permettent de déter- 

 miner ces quantités. 

 On trouve 



--l2-<=?)^ ^-ti;-^(^^)^ ^=?i;^^(ï)^ 



d'où 



X,V.7.= ?^V..(-,Î). 



On a donc le théorème : 



Le nombre des décompositions de m(^^ 5 iiiod 8) en 



est èi>al à 



'4^d^i=^) (Liouville). 



2" m~ '] (mod8). — Même démonstration et mêmes formules. Soient: 

 X le nombre des décompositions (i) où f est impair, a;.. . u impairs ; 

 Y le nombre dos décompositions (i) où c est impair, un seul des .r...// impair; 



