SÉANCE DU 28 FÉVRIER 102 1. 5ll 



Z le nombre dos décompositions (i) OÙ l'est pair, deux des a-... î/ pairs, trois 

 impairs. 



On a les mêmes relations entre les N et les X, Y, Z. 

 D'où le théorème : 

 Le nombre des décompositions de m^j ou -j (mod 8) en 



m = n'' + y-+ X-+ 2{l'-h u--\- i-'-) 

 est 



'i° m^i (mod 8). — On considère les décompositions 



/H ;^ ;; I -I- . . . + x'I -f- 2 f- 



et les divise en : 



1° r pair; un des x^ impairs, quatre pairs (en nombre X) ; 

 •1° (' impair, trois des cci impairs, deux pairs (en nombre Y). 

 Il vient 



5 10 5 



E^'f^ 



En éliminant N, et N,, on obtient : 



Le nombre des décompositions de ni~i ( mod 8) en 



m r= H- -t- r'^ -+- X- + t- -\- u--\- 1 v- 

 est 



io^d^(^\ (Liouville). 



4*^ m ^3 (mod 8). — Même démonstration et même résultat. 



Oq établit ainsi la formule de Liouville : 



Le nombre des représentations de w, impair, par 



m = /i^ -I- >'- + X- -I- <- -(- j/^ -(- 2 1'- 

 est éi>al à 



la somme portant sur les décompositions m = do. 



