SÉANCE DU 28 FÉVRIER 192I. SlQ 



Le but de celte Note est d'exposer quelques considérations et quelques 

 résultats assez généraux, relatifs à la façon dont le problème des tnuisfonna- 

 tions des équations du troisième ordre à deux variables indépendantes peut 

 se ramener à des questions se rattachant à certains systèmes de Pfaff; il ne 

 s'agit donc pas de présenter un résumé complet. D'ailleurs, il est aisé 

 d'étendre ce qui suit à des équations d'ordre plus grand que 3. 



11. Considérons le système (A) des six équations de FfalT à onze variables 

 déduit d'une équation(e)du troisième ordre ix = f(x,y,z,p,(f,r^s,l,^,^{,o): 



!dz — p dx — q dy = o, dr — fdc — [3 dy = o, 

 dp — r dx — s dy:^ o, ds — p dx — y dy = o, 

 dq — s dx — tdy ^ o, dt — y dx — ô (// = o. 



Le nombre des covariants distincts provenant de (A) est 3. On connaît 

 le rôle joué par le système de deux équations de Pfaffà six variables dans la 

 théorie des équations du deuxième ordre; pour un rôle semblable, on peut 

 songer ici soit à un système (B) de trois équations à hiHt variables et trois 

 covariants distincts, soit à un système (C)de quatre équations à neuf varia- 

 bles et trois covariants distincts seulement. Si nous formons, par exemple, 

 un système (B,) au moyen d'équations appartenant à (A), et que dans les 

 équations non utilisées de (A) nous considérions les variables liées par les 

 relations fournies parles équations d'une intégrale de (B,) à deux dimen- 

 sions, le système des trois équations à cinq variables ainsi obtenu est com- 

 plètement intégrable; si donc (B,) possède une résolvante du troisième 

 ordre (e'), nous avons obtenu une transformation des équations (e) et (r). 



L'étude que nous avons à faire des systèmes (B) et (C) doit ainsi viser à 

 établir des formes canoniques sur lesquelles il soit facile de faire apparaître 

 une résolvante du troisième ordre. Sans entrer dans le détail de l'énoncé 

 des formes canoniques qui se présentent, je signale qu'une des équations 

 doit avoir la forme dz — p'dx' — q' dy' = 0, et que les cas les plus impor- 

 tants sont ceux où une deuxième équation possède comme élément intégral 

 l'élément caractéristique de la première. ^Nlais alors, il est aisé de montrer 

 que le système des équations qui définissent le changement de variables 

 permettant d'obtenir la forme canonique envisagée de (B) ou (C) doit 

 comprendre des équations telles que 



(où «=/), 



