64o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



polynôme / esl le déterminant 



(6) 



/ = 



-'11 -'12 • • • -^ 1« 



•''ai •>-ii ■ • ■ X.,„ 



OÙ les Xij sont n^ variables indépendantes. Le hessien // de /' est une cova- 

 riante de /. Ainsi, /t = c/'"'" -\ où c esl une constante. On trouve la valeur 

 de c comme suit. Par inspection. 



(7) 



à\f 



O.Vijàxu 



est nulle si Xij et x/^/ se trouvent dans la même ligne ou même colonne du 

 déterminant (6), c'est-à-dire si j — /■ ou / = /. Dans les autres cas, (7) est 

 égale, sauf le signe, au déterminant mineur d'ordre /; — 2. Il suffit de 

 poser Xii^ I, Xij = o (i ^j). Alors, (7) est nulle, exception faite des cas 

 suivants : 



dxii dx/,; 



= 1 (i^/,); 



(.).r,j d.i-ji 



(' 



Ainsi, dans la ligne du déterminant hessien /i dont les éléments sont ( 7 ) 

 pour des valeurs constantes et distinctes de i et y', il y a un seul élément 

 distinct de zéro. Nous pouvons supprimer cette ligne, qui est marquée 

 par Xij, et la colonne correspondante marquée par Xjj. Nous supprimons 

 toutes ces lignes et colonnes pour i, / = i , . . . , n\ i :^ j. Alors, 



±h. 



ô\f 



à\f 



à\f 



Ainsi, c 



±.ln — \ 



= (-i)"-'(«-i). 



puissance dr ce ilètenninanl pur iiiie constante ^ o. 



Le hessien dti déterminant ((S) est le produit (Pune 



