646 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



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A, (3) = n,+ /;,;+-..., Aj(-) = rtj+ //o :; + .., Av(;) = rtv-f- ^v^; +. • . 



et les polynômes 



/7(a-) = jr"'4-«|,r''-'-(-. . . + «v-i-i' + «v, (|{x)=:.b^x''-^ + b,x'-- + . . . +6v-i'' -^ l>i 



Il ont aucune racine commune, on lire de l équation (i) une autre Jonc- 

 tion y = b (r) aus.u' algéhroïde dans le voisinage de z ^^ o. 



Alors, l'une au moins des fonctions a(^z) elh{z) admet au moins un point 

 singulier dhféhe.nt de l'origine z = o dans un cercle de centre origine et de 

 rayon supérieur à une quantité 



R {</,. 6|, 'Vj, b,, . . . , a,, b;, /i,, /u, . . .) 



ne dépendant que des coefficients a^^b^,a.^^h„,...,a.,,b.,et des degrés n,, n.,, ... 

 de nudtiplicité des racines du polynôme p [x). 



La quantité R est analogue à celle du théorème de M. Picard. Elle est 

 égale à la plus grande des quantités de la forme (') 



* I f-^(at) — ,Uo(3;) I 



I «ip'(a) I 



dont chacune correspond à un système circulaire de branches de la fonc- 

 tion X = a(^) qui se permutent autour de r =; o et sont représentées par 

 la série X| + a,s.... [Le développement de A(iry) suivant le point ana- 

 lytique (a, ^) relatif à chaque système circulaire de branches donne 



Les nombres a ne dépendeni que des coefficients a,, />,, a.,, h.,, . . . , a.,,!)., et 

 des degrés «,, /i,, .... 



3. Un cas particulier intéressant est celui où Tune des deux fonctions, 

 par exemple iaa; = a(;), est méromorphe. Alors, notre théorème donne 

 une limite supérieure de la différence des modules de deux points critiques de 

 l'autre y = b ( ^), lorsque ces points sont rangés par ordre de modide croissant, 

 celte limite ne dépendant que des valeurs de la fonction a (:) et de sa dérivée 

 en un de ces deux points singidiers. 



ÎNous pouvons, par exemple, appliquer cela à la fonction ajgébrique y (.e) 

 elle-même définie par la courbe donnée (i) de genre supérieur à l'unité, ce 

 qui nous donne des renseignements intéressants sur la distribution (en 

 module) des points singuliers d'une fonction algébrique définie par une 

 équation de genre supérieur à l'unilé. 



(') \oii- le travail de M. Ficard plus haut mentionné, page a. 



