SÉANCE DU l4 MARS 1921. 647 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions hypercllipl'uiues singulicres. 

 Noie de M. C.-E. Trayxaud, présentée par M. Appell. 



En généralisant les travaux de G. Humbert sur les relations singulières 

 entre les périodes d'une fonction ahélienne de deux variables, G. Colty a 

 étudié, dans sa Thèse, les relations singulières entre les périodes du Tableau 



g h 



1 h g' 



11 a démontré(')que toute relation de diviseurs, d'invariant A et de type k 

 est équivalente à la relation réduite 



ng -\- kh — m g'= o, 



n étant définie par l'égalité 



A = /.- + 4 »i'i. 



J'ai étudié les fonctions intermédiaires relatives à ces relations, de la 

 même façon que (i. Humbert a étudié les fonctions intermédiaires relatives 

 aux relations de diviseur 1 et j'ai obtenu ainsi des résultats qui généra- 

 lisent ceux de ce géomètre éminent et regretté. 



La définition de ces fonctions introduit deux entiers/? et ^dont le premier 

 est toujours positif et tels que S =; np^ — kpq — mq^ soit positif ou nul; le 

 nombre de fonctions paires ou impaires dépend de la valeur de et de cer- 

 taines parités; = constitue le cas elliptique et correspond à la con- 

 dition A — P. 



Si ^ =: 0, les fonctions intermédiaires deviennent des fonctions thêta, 

 précisément celles qui sont relatives au Tableau T„ et que j'ai étudiées dans 

 ma thèse. 



Déterminant ensuite les demi-périodes qui annulent ces fonctions paires 

 ou impaires, j'ai obtenu un ensemble de résultats qui constitue en quelque 

 sorte un amalgame de ceux que G. Humbert a donnés pour les fonctions 

 singulières de diviseur i et de ceux que j'ai donnés pour les fonctions de 

 diviseur n. 



L'application de ces résultats aux surfaces hyperelliptiques singulières 



(') Thèse, p. 53. Je dirai que n esl le diviseur de la relation et non pas le genre 

 comme le disait G. Cotty. 



