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se présenle imniédiatenient. G. Humbert a signalé (') des surfaces à 

 i5 points doubles et une surface à 32 droites. J'ai étudié avec quelques 

 détails de telles surfaces dans ma Thèse et M. L. Hemy (-) a montré que les 

 surfaces de (!. Humbert se ramènent par une transformation (non uni- 

 voque) à celles dont j'ai donné les propriélés. Avec l'introduction généra- 

 lisée du diviseur n, cette transformation n'est plus nécessaire, comme 

 l'exemple suivant va le montrer. 



Je prends la relation singulière sous la forme 



5 g — ^'=-0, /i = 3, A=:o, Hj =1 1 , d=r2. 



Il y a pour p = i^ q = o huit fonctions paires qui ne s'annule pour aucune 

 demi-période. En leur donnant ?/ = c = o comme zéro quadruple, il reste 

 quatre fonctions linéairement indépendantes. Ces fonctions sont des fonc- 

 tions thêta, cas particuliers des fonctions d'ordre G et de diviseur 3 qui 

 m'ont conduit à une surface du quatrième degré à iji points doubles (^). 



En prenant les fonctions intermédiaires ainsi déterminées comme coor- 

 données d'un point, la surface obtenue est aussi du quatrième degré et à 

 1 5 points doubles. Elle est caractérisée comme celle que j'ai étudiée par 

 la propriété énoncée par G. Humbert : 



La trace sur un plan du cône circonscrit d'un'point à la surface se compose 

 de quatre droites et d'une conique C tangentes à une même conique en tous 

 leurs points de rencontre avec elle; en outre, la conique circonscrite au 

 triangle formé par trois des droites admet la quatrième comme sécante 

 commune avec C; l'existence d'une de ces coniques entraine celle des trois 

 autres. 



Cette propriété ramène à trois le nombre de paramètres vrais dont 

 dépend la surface; mais la surface singulière ne dépend que de deux para- 

 mètres et en effet il existe sur clic des courbes qui n'existent pas sur la 

 surface générale. 



Jeprendsyj = i, ^ = i, d'où o = 2; il y a [)Our trois caractéristiques par- 

 ticulières deux fonctions paires nulles pour (piaire demi-périodes ; en leur 

 donnant « = (^ = o comme zéro double, la courbe obtenue est une conique 

 passant par quatre points doubles; de même /* = i, «jr = — 1,0 = 2 donne les 

 trois coniques qui, associées aux précédentes, forment trois sections planes 



(') Comples rendus, l. I:i0, i8<)9, p. 610; l. i:i2, 1901, p. -■>.. 

 (-) Comptes rendus, t. 142, 1906, p. 768. 

 (■') Thèse , p. S8. 



