SÉANCE DU \l\ MARS 1921. 65 1 



Le développement 



-, , A, A„ ^ B„ , B|j , B,5" . 



?„(;) = (:;- f/„,, ) . . . (c - «„,„), g„( :) = (; - i,,,, ) ... (0 - ^„,„), 



est valable dans la couronne formée par les cercles de centre O et de rayons 



IV 



RH-lim !/! A„|, 



'V'IB,,! 



ANALYSK MATHKMATlQUE. — Sur (iiieUjues points (le la théorie des fonctions 

 et de la théorie des nombres, ^ote de M. Théodore Vahopoulos, présentée 

 par M. Appell. 



l. Soit une fonction x = 9(3) à \i. branches définie par une équation de 

 la forme ('). 



F( c, .c) = .ri'- + A, ( : ) x^-' 4- A, ( 3)1'-' + . . . + A^, . , ( .- ).r + A,^, ( :) = o 



et supposons, pour fixer les idées, que les fonctions entières A,(;) sont 

 d'ordre fini au plus égal à p. 



Il faut considérer comme exceptionnelle toute valeur a"|, de j^ pour laquelle 



on ait 



F(=, r,) =:?„( = ) + Q45)e"«'-', 



H„(^::), Q„(3). P„(=) désignant des polynômes, le premier de degré au plus 

 égal à p. 



Soient a;,-, Xj deux toiles valeurs de œ. Appelons (E,) l'ensemble des 

 valeurs de x pour lesquelles ¥(z,x) soit une constante ou un polynôme, 

 (Eo ) l'ensemble de valeurs de v pour lesquelles aucune des différences 



H,(-)-II;(v-) 



n'est constante; nous démontrerons le théorème suivant : 



Théorème. — L'ensemble des valeurs (E,). (Eo) ne surpasse jamais le 



nombre [o. + i , l'infini compris. 



En effet, l'élimination des A,(s) entre les équations 



F(5,a-,. )=:?,(;) (/=1.2 l^-l), 



F(.-, X;) = P,(c) + Q;(5)e'M^i (y = fx,j^ + .) 

 (') Voii- ma Communication précédente : Comptes rendus, l. i72, 1921, p. 353. 



