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nous conduit à une identité de M. Borel de la forme suivante : 



A, A, ayant les valeurs citées dans ma Communication précédente, dans 

 laquelle les termes exponentiels no subiront aucune réduction, bien en- 

 tendu, dans la forme définitive exigée par le théorème fondamental de 

 M. Borel, et. par conséquent, l'identité en question est impossible. 



2. Le théorème subsiste encore si les fonctions P( s\ Q(^) croissent toutes 

 moins vite que e"'^ ". e"''' étant le plus grand des ordres des fonc- 

 tions A,(s), et a étant toujours un nombre positif quelconque, mais fixe. 



3. Ce théorème peut servir de base pour établir une généralisation du 

 théorème cité à ma Note susdite. 



Soit une équation algébrique exceptionnelle 



(.)ù les nombres a,, a^, ..., a^, sont transcendants, a, a. a algébriques et 



différents de zéro, qui admet des racines algébriques. 



Soit 



P(jri) = a, + aie='., 



si X, :^ Xj il est impossible, grâce au théorème de Lindemann, d'avoir 

 /j(a;,)';jo(,rj) 7= algébrique, 



Alors si nous appelons (E,) l'ensemble des valeurs algebriques.de a; pour 

 lesquelles p(x) est nombre algébrique, (E^) l'ensemble des valeurs Xj pour 

 lesquelles 



/j(a;) = ai-+- a'e*., 



et les nombres a, sont dilTérenls entre eux, nous arrivons à renoncé suivant : 

 Théorème. — L'ensemble des valeurs (E,), (Ej) ne sur oasse jamais le 



nombre a. 



L'élimination des coefficients x,, x^, . . . , Xjj^ entre les a -\- i équations 



V{Xi)=z ki ('■ = !, 2, .... ^ — I), 



V{Xj) = ay -4- aj e*- (y = fi, /^ 4- i ) 

 nous conduit à l'égalité suivante 



