SÉANCE DU lf\ MARS 192I. 653 



laquelle, d'a|)rès le ihéorèine de Lindemann, est impossible et noire ihco- 

 rème est démontré. 



Nous avons ici la limite [x au lieu u- H- i, que nous avions dans le théo- 

 rème du paragraphe I, parce que l'infini n'a pas à intervenir dans la théorie 

 des nombres. 



ANALYSE MATIIKMAIIQUE. — Sur un calcul de totalisation à deux dci^res. 

 Note de M. Arnaud Denjoy, présentée par M. Hadamard. 



L'intérêt des considérations suivantes est de conduire au calcul des 

 coefficients d'une série trigonométrique convergente quelconque dont la 

 somme est une fonction donnée. 



Dans un travail antérieur ('), j'ai analysé les rapports mutuels des 

 notions de fonction continue résoluble et de fonction totalisablc. La notion 

 de dérivée approximative fournit le lien entre ces deux catégories de 

 fonctions (-). 



Le calcul totalisant permet de remonter d'une dérivée approximative à 

 une fonction résoluble en vertu des deux propositions suivantes : 



i" Toute fonction résoluble F possède sur une épaisseur pleine une 

 dérivée approximative ç. 9 complétée indifféremment par des valeurs finies 

 aux points où elle n'existe pas, est lotalisable. F(è) — F(rt) est égale à la 

 totale àQ fdx prise de a a b, 



2° Si la fonction donnée o, est totalisable, la totale de cp, entre a q\ x est 

 une fonction de x résoluble F,. Celle-ci admet ç, pour dérivée approxima- 

 tive sur une épaisseur pleine. 



D'une manière analogue, nous nous proposons de caractériser deux 



(') Annales de l'École Normale supérieure, 1916 et 1917. 



{^) La variation d'une fonction continue/ sur un inter^'alle ab{a<.b) est 

 f{b)—f{a). La variation de f sur un ensemble par/aitV à''e\lvémnés a el b {a < b) 

 est dite définie si la série des variations (•„ de/ sur les divers contigus «„ à P est 

 ab-olument convergente. La valeur de celle variation est alors, par définition, 



V(/,P)=/(6 )-/(«)-!.„. 



L'intervalle i contenant au moins un point de P, on appelle /JO/^/o/t de P déterminée 

 par i l'ensemble parfait formé des points de P intérieurs à i et de leurs points limites. 



On dit que la variation de / sur P, si elle est non définie, est réductible, si P con- 

 tient unepoition sur laquelle la variation de /est définie. On dit que la variation de ■ 

 / est réductible à o sur tout ensemble yar/ait mince (de mesure nulle) si tout 



