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classes de fonctions d'une variable et un calcul que nous appellerons totali- 

 sation symétrique à deux déférés ou opération f T, , ) sorte d'intégration à trois 

 limites, de manière que : 



i" Si S est résoluble {2, s), d'une part il existe une pleine épaisseur E en 

 tout point de laquelle ^T a une dérivée ordinaire f et .?' possède une dérivée 

 approximative /'; d'autre part, /' est opérable {T^,)el, i étant différent de a, 

 on a 



T,,,(/, a, I,. c)z={c-b)g[a) + {a-c)rs{b) + { h - «).T(c). 



2° Si y, est opérable^ (T, ,) l'expression Tj^(y,, rt, h, x) est une 



fonction ^, (a;) résoluble (2,.?) et dont la dérivée seconde ordinaire, approxi- 

 mative, coïncide avec y, sur une épaisseur pleine. 



Il nous sera indispensable d'introduire quelques définitions nouvelles. 



^'ous dirons qu'une fonction #, définie sur un ensemble parfait P, est 

 résoluble sur P si la fonction, coïncidant avec ^ sur P et linéaire sur chaque 

 segment contigu à P, est résoluble (en particulier, ,f sera continue sur P). 



Nous dirons qu'une fonction f, définie sur un ensemble fermé E, el à 

 laquelle on attribue une totale «•„ sur chaque intervalle u„ contigu à E, est 



tolalisable sur E si la fonction 'j», égale à / sur E et à -^ sur u„. est tola- 

 lisable. 



Mous appellerons segment spécial de l'ensemble parfait P. tout segment t 

 limité à deux intervalles conligus de P, et surpassé en longueur par l'un et 

 l'autre de cescontigus. 



Les segments, dont les deux extrémités sont des points de première espèce 

 de P. sont évidemment en infinilé-dénombrable. On montre que la somme 



ensemble de celle nalure conlient une porlion où la varialion de/" est définie et nulle. 

 On dit par abréviation dans ce cas que /est résoluble. 



in{x) — m{a) étant le nombre dont la valeur absolue est la mesure d'un ensemble 

 donné E sur l'intervalle a, x et dont le signe r.'est pas contraire à celui de x — a, 

 Vépaisseur de E au point x, quand elle existe, est la dérivée de in[x). 



On dit que /(^j admet au point x le nombre 9 pour dérivée approximative s'il 



existe un ensemble \i(x) d'épaisseur i en ./■ el tel que '— — ; — '■ — ^ — tende vers (p 

 quand ,r' tend vers ,r sans quitter Ej^)./ est continue sur E(x) au point x, mais peut 

 être discontinue ou inexistante hors de E(^). 



On dit que e est une épaisseur pleine, si le compiémenlaire de e est mince. On dit 

 que e situé sur un ensemble K est une pleine épaisseur de K, si l'ensemble des points 

 de k étrangers à e est mince. 



