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tioii inlégiale générale. D'autres types de noyaux avec des propriétés 

 analogues ont été signalés par MM. Goursal et Marty ('). Nous nous pro- 

 posons, dans le suivant, de démontrer qu'on peut approfondir d'une manière 

 analogue l'élude d'une autre classe de noyaux réels, qui comprend comme 

 cas particuliers les no^au.v symétriques et les noyaux symétriques gauches. 

 Soit k(^a-,y) une fonction réelle et continue, définie dans le domaine 

 a^i ^6 et soumis à la condition 



(i) ^ A(,r,o/.(7,0'/'=y /--(^•0/.(^.'■)^//.• 



En introduisant les transformations fonctionnelles 



S{f)=f A{.r,l)f(t)r//, S'i/)=f k{t.x)f{l)clt. 



dont l'une est l'associée de l'autre, nous voyons que (i) revient à dire que 

 les transformations S et S' sont permutables, c'est-à-dire 



SS' = S'S. 



Soit Ci,, Oj. . . ., <p,„ un système complet de fonctions principales correspon- 

 dant à une valeur caractéristique A de k{x,y). Posons 



Nous pouvons, comme on le sait, disposer de <j:,,9o, •■••?;» ^^ '^1'^ 

 manière qu'on aura 



(a) / Q^'iqdx~c,,„s 



(3) ?iS(9;,)=2«pv9v, 



v = l 



où ap^ sont des constantes satisfaisant aux relations 



(4) a,,,,— \, Up^—Q {p<(l)- 



Considérons les fonctions aS'(9^) = oj^,. En effectuant sur les deux 

 membres de (3) l'opération AS', il viendra 



(5) /,S{oi„)rr2r7,,,w,/. 



V ^ 1 



(') Voir GouitSAT, Cours d^ Analyse, I. 3, p. 4i'' el suiv. 



