SÉANCE DU l4 MARS I921. 667 



(M,,Lo.,, .... co„, forment donc aussi un système de fondions principales 

 correspondant à la valeur caractéristique X, ce qui entraîne l'existence des 

 constantes h^„^ telles qu'on aura 



( <> ) ?. S' ( o,. ) = ',>,, = V h^,, o.^. 



v = l 



lui vertu de la formule 



(:) f fS(i')dx=J' ffS'{/)djr, 



on trouvera, en multipliant (3) par 'p^ et intégrant, 



/ 'SIpM,, dx --(If,,,. 



De la relation (6) s'obtiendra d'une manière analogue 



/ a,, ',),, d.r = b,,,, = a,,,,. 



Si nous effectuons sur (3) l'opération XS' et sur (6) l'opération AS, nous 

 trouverons, compte tenu de la relation SS'= S' S, que les matrices ('//„,) 

 et (h,,,,) sont permutables, c'est-à-dire 



(«/-/)( "'//.) =('^7/'.^ ( ";■'/)• 



En égalant les éléments diagonaux des deux membres de cette équation 

 il viendra 



Il s'ensuit que a^,^=o pour p^q. On en déduit aisément le théorème 

 suivant : 



Toutes les fonctions principales de k{^x, y) sont des fonctions fondafnen- 

 tales. Les pôles de la résolvante sont tous simples. Si k( :r, y) admet la fonction 

 fondamentale cp(.t'), 9(1?) sera une fonction fondamentale de k(y, a") corrcs- 

 pomhmt à la même valeur caractéristique. 



Désignons par Ç/,, o, o„, ... une suite complète de fonctions fonda- 

 mentales de k\x, y) et soient X,, Aj, . . ., A„. ... les valeurs caractéristiques 

 correspondantes. D'après ce qui précède, les fonctions ^/, peuvent être nor- 



