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ALGÈBRi:. — Sur la position ilrs racines des (lêrivées d'un polynoiiic. 

 Noie de M. J.-L. Wai.sh, présentée par M. Hadamard. 



Rappelons le lemme suivant (') : 



Si les lieux des points z^ el z, sont les intèrieius {^frontières comprises^ des 

 cercles C, cl Q., dont les centres sont i-especti\eiiient y., el a, el les rayons r, el 

 /%, le lieu du point z qui divise le seiiment (z^,z.,) dans le rapport cons- 

 tant — ^-(rn.m.,^ o) est l'intérieur ( frontière comprise) du cercle C dont le 

 rn,^ ■ •' ^ 



rentre est 



m.iV.^ -i- /", y.i 



el le rayon 



iii.y ''i -I- '"i r., 

 III, -h nu 



Ce leiame s'applique (loc. cil.) à la démonstration du tliéorème suivant : 



TuicoiujiK I. — .SV le polynôme /(z) a m, racines dans C,, m., racines dans 

 C2, el n a pas d\iutres racirws, toutes les racines de sa dérivée f (^z) se Iroinrnl 

 dans C,, Co el C. Si ces trois cercles sont mutuellement extérieurs, ils con- 

 tiennent respectivement m, — i, m.,— i, et une des racines de /'(z). 



Comme conséquence immédiate, si les racines de /'(; ) se trouvent dans 

 un cercle, celles de /'(s) s'y trouvent aussi; ce qui équivaut au théorème 

 bien connu de Lucas d'après lequel les racines de /'(^z) sont à l'intérieur 

 d'un polygone convexe quelconque contenant celles de /(-)• Le théorème 

 de Lucas s'étend de lui-même aux autres dérivées de /(r). Nous voulons 

 ici démontrer l'extension correspondante du théorème I. 



Tmkoiik.me II. — Soit ^^■(^)f=s(s — z,y"'(^z — z.,)'"'; désignons par r- ' les 

 rarines distinctes, au nombre de m, de g''''(z) =^ [dérivée A"""' de g{z)\ il 



pour — ^ les rapports dans lesquels elles divisent le sig/nenl {z,, z.,). Si y(z) est 



un polynôme à m, racines dans le cercle C, (notations du lemme), à m.^ dans 

 le cercle C,, et sans autres racines, toutes les racines de sa /,"""' dérivée f'{~-) 

 se trouvent dans li's ni re/rles C "' de centres 



/«',"'-(- mf 



(') AN'ai.sh, Traiisdctions iif ihc American Miillwinalical Society, ly.M ; Comptes 

 rendus du (Jongrès des Malitèinalicicns à Slrasliourg, i()fo. 



