SÉANCE DU l4 MARS 192I. 663 



et tic rayons 



«(',"' -T- //(']" 



Si G"' est extérieur aux autres cercles C", il contient un nombre des racines 

 (le /''^'(s) égal à la multiplicilé de ='"' comme racine de §'"(")• 

 Nous avons à considérer le polynôme 



(1) f{z)=V,{z^b,)[z-lj,) ..(3-6„„+„,J 



el les racines de l'équation 



(2) /"'■)(;) = 0. 



Les racines de (2) sont des fondions analytiques des h. Donc le lieu des 

 i-acines de (2) se compose bien <J'une ou plusieurs aires quand les lieux 

 des h sont des aires. Nous allons démontrer que si une racine :; de (2) est 

 sur la frontière de son lieu, tous les points 6, ,...,/>,„_ correspondants 

 dans C, peuvent être choisis coïncldiint sur C, et tous les points />,„,+,, . . . , 

 b,n+,n, dans Co coïncidant sur (1,; tous ces points sont évidemment sur leurs 

 frontières puisque la relation (2) est analytique. 



Supposons que b^ et b., ne coïncident pas. Fixons :; et les points /-».,, 

 b., ..., />„,_+,„.•, l'équation (2) devient une relation homographique et invo- 

 lulive entre b^ et b., et par' conséquent quand b^ décrit le cercle Ci, ^2 décrit 

 un cercle C. De plus, C' pa-se par- les positions initiales de ces deux points. 

 Si C ne coïncidait pas avec C,, b.^ viendrait à Vintérieur de C, et :; ne serait 

 pas sur la frontière de son lieu. Les points è, et b.^ qui se déplacent sur C, le 

 décrivent dans des sens opposés; car autrement nous pourrions faire 

 entrer b^ à l'intérieur de C, et b„ y viendrait aussi. Par suite, on peut faire 

 coïncider b, et è„ sur C,. Une extension de ce raisonnement, dont nous ne 

 donnons pas les détails, amène l)ien au choix de i,, . . ., è„, coïncidant sur C, 

 et de 6„,,+i, . . ., />„,,+,„. coïncidarrt sur- C^ (' ). 



S'il existe, ainsi, une frontière du lieu des racines de (2), pour la déter- 

 miner nous pouvons considérer- les racines de (i) appartenant à C, ou C^ 

 coiTime en coïncidence sur ces certies. L'existence de cette frontière est 

 une conséquence du théorème de Lucas, de sorte que chaque point de la 

 frontière est sur l'un des C"" ou à son intérieur, en vertu du lemme. 



(') Ce raisonnement ne dt'ijeiid que d'une propriété de (a), propriété commune à 

 lieaucoup d'autres relations semJJJaljles. Nous avons l'intention d'en faire des applica- 

 tions à des polynômes plus généraux. Le raisonnement s'applique aussi à une région 

 fermée quelconque du plan dont la frontière est un seul cercle ou une seule droite. 



