SÉANCE DU ai MARS I92I. 74 1 



et Ton voit que *l*(\, \i„) et $( A„, B) sont les deux solutions 



/à . . 0\ / . . d 



que M. Hadamard a données récemment pour l'équation (3). 



Si, au lieu de diderentier (/|) par rapport à A,,, on diflerentie par rapport 

 à A, on obtient une équation nouvelle, quoique très analogue à (3). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéfos des fonctions entières 

 d'ordre infini. Note de M. G. Valiron. 



Je me propose de démontrer une propriété générale des zéros des fonctions 

 entières d'ordre infini, en relation avec le théorème de M. Picard, qui se 

 déduit facilement de propriétés connues. Je me référerai souvent au livre de 

 M. Blumenthal, Principes de la théorie des fonctions entières d''ordre infini, 

 que je désignerai par B. 



/(c) étant une fonction holomorphe dans un cercle de rayon i, M(/-) son 

 module maximum pour | ^ | = r, posons : 



logiM(r) r= V(X), X -. — î— ', 



i — r 



V(X) est une fonction croissante continue définie pour X>- r, si elle ne 

 reste pas inférieure à X/" (p fini), f(z-) est dit d'ordre infini. Je me placerai 

 dans ce cas. On peut alors définir l'ordre [j(X) en appliquant à la fonction 

 c^"" les raisonnements que l'on fait dans le cas d'une fonction entière 

 (B., p. 43); on aura 



V(X)<Xi^"", V(X)>X!^t'^i'"\ 



la première inégalité ayant lieu quel que soit X, la seconde pour des X 

 indéfiniment croissants (S tend vers zéro) et «.(X) étant une fonction type. 

 Le théorème de M. Jensen montre que «(/) = N(X) étant le nombre des 

 zéros dey(s) pour I ; I !rr, on a 





d'où 



N(X)^^^<X'^'^''" 



et, en prenant X' = X h p^ et tenant compte de la croissance typique, 



NCXXXt^'^''""* 



