742 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



[dans le cas de l'ordre fini, jJi.(X) = p, on trouve seulement N(X) < X'^^f"*"'']. 

 Soient r/„ = fi^c''^" le zéro de rang^, b,, ^= e''", et p(X) l'exposant de conver- 

 gence de la suite des nombres X„= -— -— > le produit infini de M. Picard 



(Traité (i'Anafysc, 2* édition, t. 2, p. i5o, elComptes rendus, t. 92, 1881, 

 p. 690-692). 



où l'on prend pour />„ la partie entière de p(X„)'"^", est convergent. Le 

 logarithme du module du facteur de rang n est moindre que (^) > on a 

 donc sans nouveaux calculs (B., p. 55, 60) 



log|P(;)|<XPi^''"*. 



Pour le minimum de |P(s)|, le calcul de M. Blumenllial peut être sim- 

 plifié, N étant le nombre défini par l'égalité (8B) (B., p. 55), on voit que 



log I p(.) I >- xp>^''^*+;2 iog| i^ |, 

 I 



donc, «/étant la plus petite des différences |X — X„|, on a 



log|P(:)|>(.-loga')\?'''"* 



[ces inégalités sont vraies même si p(X) — p =const.J. Les inégalités entre 

 le module de la fonction et celui, M,(7'), de la dérivée subsistent aussi, 

 l'inégalité (i) (B., p. 90) donne ici 



L'ordre de la dérivée est donc le même que celui de la fonction; même 

 conclusion pour la partie réelle A(/-) = e"^', l'égalité (6) page 93 donnant 



^'X'-X 



Les conclusions que l'on lire de ces diverses propositions subsistent donc 

 sans modification : une fonction /"(s) d'ordre (a( X) est de la forme 



/( = ) = e^(=)P(;), 

 chaque facteur du second membre étant d'ordre .'J^(X) au plus, et si l'ordre 



