SÉANCE DU 21 MARS I92I. 743 



p(X) de P(3) est moindre que [j. (c'est-à-dire si p''^'' < [i-, y > o), le premier 

 facteur est d'ordre [^(X); le minimum d'une fonction d'ordre [x vérifie la 

 même inégalité que celui d'un produit canonique; le produit d'une fonction / 

 d'ordre a par une fonction y, d'ordre a, moindre que u. est d'ordre il. Dans 

 cette dornière proposition, on doit faire intervenir la relation entre \(r) 

 et M(;') dans le cas de l'ordre [j., fini, celte relation est moins précise que 

 dans le cas de l'ordre infini, mais il n'en résulte pas d'inconvénient. 



La démonstration du théorème de M. Picard par la méthode de M. Borel 

 (Acta math. , t. 20) reste donc valable pour une fonction /(s) d'ordre infini : 

 l'c.i'posdnl de com'ergrnce p des zéros de f{z) — a ne peut être constamment 

 inférieur à V ordre u. que pour une seule valeur a. 



Une transformation simple donne de suite le résultat que j'avais en vue. 

 Soient F(Z) une fonction entière d'ordre infini p.(R) et a un nombre quel- 

 conque compris entre o et i~. K étant un nombre fixe et très grand, il 

 existe au moins un angle d'ouverture ^ dans lequel F(Z) est encore 

 d'ordre ,u.(R) (j'entends par là que le logarithme du maximum du module 

 dans le secteur angulaire intérieur au cercle | Z | ^ R est égal à R*^'" en une 

 suite de points allant à l'infini) ; supposons qu'un tel angle ait pour bissec- 

 trice l'axe réel positif et posons 



F(Z) =/(.-), Z = (I-^^^ 

 f{z) sera holomorphe dans le cercle |s| = i et d'ordre au moins égal à 



ut. ( ^ ), K, étant un nombre fixe supérieur à i , mais aussi proche de i que 



l'on veut pourvu que K soit assez grand. L'ordre des zéros de /( = ) — a ne 

 pourra donc être inférieur à cet ordre que pour une seule valeur a, et en 

 passant de nouveau à la fonction F(Z) on obtient ce complément au théo- 

 rème de Picard-Borel : 



F(Z) étant d'ordre infini a(R), il existe au moins un angle d'omertwe 

 donnée oc tel que l'ordre des zéros des fonctions F(Z) — a qui sont intérieurs à 



cet angle ne puisse être inférieur à u. ( -p- R ) que pour une seule i^aleur a. 



Il faut observer que, lorsque la croissance de (Ji-(R) ne présente pas de 

 grosses irrégularités et lorsque («-(R) < R'', p étant fixe, on a 



le résultat obtenu dans l'angle a est le même que celui donné par M. Borel 



