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Sans entrer dans le détail des démonstrations, je me bornerai à indiquer 

 une propriété générale de l'intégrale I, qui joue un rôle essentiel dans 

 l'élude de la question. Elle se rapporte au cas où | ^(^ )| <[ | 9(")l- '^"'- '*^ 

 long du contour d'intégration, a désignant une valeur particulière de z, 

 prise en dehors de ce contour. Dans cette hypothèse, q désignant un nombre 



positif lixe, d'ailleurs aussi grand que l'on veut, l'expi'ession «''^tt '^"^ 



vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment, sous les restrictions suivantes : 

 1° la fonction 'Jj^z) est finie, le long du contour; 2" si /'(;) devient infinie le 

 long du contour, pour :; ^ c, on peut trouver un nombre y, compris entre o 

 et I, tel que \{z — c)"^ f{z) \ ne dépasse pas un nombre fixe, lorsque ; tend 

 vers c; 3° si le contour s'étend à l'infini, on admet qu'il existe deux nombres 



positifs p et r tels que t7./(^^ cl |3' ofs)! n'augmentent pas indéfiniment, 



lorsque la variable z s'éloigne à l'infini, sur le chemin d'intégration. 

 Considérons maintenant l'intégiale 



(0 



i,=j'f(z)\i'"^dz 



Supposons d'abord qne le contour d'intégration parte du point :; = r/ et que 

 les oi'données des autres points de ce contour soient supérieures à celle de a. 

 Ce que nous allons dire s'applique, même si ce contour s'étend à l'inlini. 

 à condition que son ordonnée soit alors infinie. On doit exclure le cas où le 

 conlour tendrait vers une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et située 

 à distance finie. 



La fonclion /(;) satisfaisant, le long du contour, aux conditions énoncées 

 ci-dessus, à propos de l'intégrale I. admettons que l'on puisse poser, dans le 

 voisinage du point a, 



(■'.) , /(;) = A,(c-«r'4-...-t-A,,(.--«)^.-H(;-r7)«.J;(-), 



'!'(;) étant une fonction analytique finie, dans le voisinage du point a, les 

 exposants des binômes obéissant d'ailleurs aux Inégalités 



(3) — I < a,< SI,. . .< (z,,< «. 



Dans ces condilions, si les coefficients A sont calculés de façon que les 

 déteiminations des binômes coirespondent au plus petit argument positif 

 de :: — (I, le long du contour, on peut écrire 



(4) .I.^A.Kh- A.Kj.+....+ A„K„-t K, 



