SÉANCE DU 29 MARS 1921. 787 



en faisant 



( ~>) K,,= ; — K'"" Tl a,, + 1 ), 



r désignant la fonction eulérienne de seconde espèce et le terme complé- 

 mentaire K étant tel que le produit 



reste fini, lorsque n aiigmenle indéfiniment. 



Su[)posons en second lieu : i" que le [)oint a ne soit pas sur le contour 

 d'intégration et que les ordonnées des extrémités C et D de ce chemin 

 soient supérieures à l'ordonnée de a; 1° qu'on ne puisse déformer le contour 

 jusqu'à le faire coïncider avec la corde CD, sans rencontrer le point a; 

 3" qu'en allant de C en D, en suivaiit le contour, la variable d'intégration z 

 tourne, dans le sens direct, autour du point «; 4° qu'on puisse tracer un 

 chemin Cr/D, passant par le point a, dont tous les points possèdent des 

 ordonnées supérieures à celle de a et qui serait équivalent au contour donné 

 si 3 = (7 n'était pas un point singulier de/(:;). Admettons d'autre part que, 

 dans le voisinage de a, la fonctiony(z) puisse se mettre sous la forme 



(6) /(î) = y_(-) + H,(s — n)?. + ...4-r^,,(3 — a)?,.+ (3 — rt)Pd;(;), 



'/(:■) étant une fonction holomorphe dans le voisinage de a, ■]>( = ) une fonc- 

 tion analytique finie, dans le voisinage de a, j3,, p,- • ■ -, {i,„ [i désignant des 

 exposants que-lconques, vérifiant les inégalités p, < [3,, ..., <^'^^,<^[i, 

 [3 étant seul assujetti à être supérieur à — i ('\ Dans ces conditions, on a 



(7) J,= R,ïl,+ B,H., + ...4-B„H^+H, 

 en faisant 



,0 II 27: I ,.'{""-?rl) 



le terme complémentaire H étant tel que le produit 



«fs+'F,-'""!! 

 reste fini, lorsque n augmente indéfiniment. Cette expression de J, suppose 



(M La fonction y conipienanl seulement des termes à exposants entiers cl positifs, 

 quand on la développe suivant les puissances de ; — a, on peut supposer tous les (î non 

 entiers positifs. D'ailleurs s'il en était autrement, les termes correspondants, dans le 

 développement (7), seraient nuls, d'après la formule (8). 



