SÉANCE DU 29 MARS 1921. 797 



GÉOMÉTRli:. — Sur certaines .surfaces hyperrl/iptit/ucs sirigu/irrcs. Noie 

 de M. C.-E. Traynard, présentée par M. Appell. 



J'ai donné dans une Noie précédente un exemple de surface du quatrième 

 degré avani pour coordonnées quatre fonctions iatermédiaires singulières. 

 Voici d'autres exemples qui m'ont paru intéressants. 



Je prends 7; = 3, /• — o, m = i, A = 12. Pour/» = 2, y = o, il y a quatre 

 fonctions intermédiaires impaires nulles pour 16 demi-périodes. La surface 

 correspondante a 32 droites; c'est un cas particulier de celle quej'ai obtenue 

 avec les quatre fonctions thêta impaires d'ordre 6 et de diviseur 3 ('). 



Poury> = I, y = I et pour 12 caractéristiques particulières, il existe une 

 fonction de chaque parité s'annulant pour 8 demi-périodes ; ces 24 fonctions 

 sont les équations d'autant de coniques. Pour/? = i, ^ = — i, on obtient 

 de même 24 coniques qui, associées aux précédentes, donnent 24 sections 

 planes décomposées en deux coniques. 



Je prends maintenant « = 2, A = o, m = i , A = 8. Pour /? = 2, ^ = o, 

 il y a six fonctions paires qui ne s'annulent pour aucune demi-période; en 

 leur donnant 2 demi-périodes comme zéros doubles, la sufface obtenue 

 est du quatrième degré avec i4 points doubles partagés en deux tri|)lets de 

 3 points en ligne droite et deux quaternes de 4 points dans un plan. C'est 

 un cas particulier de la surface que j'ai étudiée dans ma Thèse (^) et je ren- 

 voie à cette étude pour ce qui concerne le choix des demi-périodes et les 

 propriétés de la surface. 



Ici encore il existe deux plans particuliers au cas actuel qui coupent la 

 surface suivant deux coniques : pourjo = 1, q = i,i\y a pour deux caracté- 

 ristiques particulières une fonction nulle pour 6 demi-périodes parmi les- 

 quelles les deux zéros doubles; chacune de ces deux fonctions donne une 

 conique; pour p = 1, ^ = — i, les résultats sont les mêmes et ces quatre 

 coniques s'associent pour constituer deux sections planes. Les points 

 doubles qui sont ainsi situés dans un même plan comprennent pour chaque 

 groupe un point de chaque triplet et un point de chaque quaterne. 



Enfin je prends « = 2, A = i, /» = i, A = 9. C'est le cas elliptique; 

 pour ^ = 2,^ = 0, il y a de même une surface du quatrième degré à qua- 

 torze points doubles. La particularité est ici que deux plans passant par 



(') Thè.u;p.-2. 

 (-) Ibid., p. 02. 



