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Tout d'almid. en apjillLjuant le quatrième caraclcre à renseiuble par- 

 lait P constitue par le continu (les a et les t' n'existent donc pas ). nous 

 trouvons que l'ensemble des points H au voisinag-e desquels la dérivée ordi- 

 naire G' (ou ( i„ ) de ( I est inexistante ou discontinue en certains points, ou 

 non rosolulile dans corlains inteivalles, cet ensemlile H est non dense. Sui 

 un segment s sans points communs avec H. (i„ possédant, sur une épais- 

 seur [)lcine, une dérivée approximative nulle, est constant. ( î est linéaire 

 sur s. 



Si donc (i n'est pas linéaire, l'enseinbie L des points au \oisinagc 

 desquels G est non linéaire. L est non dense. 



En vertu du deuxième caractère des fonctions résolubles (2, .s ), si (î est 

 linéaire sur deux segments ayant une extrémité commune, (i est linéaire sur 

 le segment réunissant les deux. Donc L est parfait. G„ existe etesl constant 

 sur tout intervalle contigu à L, et par suite (2' caractère ) sur tout se^menl 

 contigu à L. Nous distinguons trois cas : 



i" L contient une portion P ne possédant aucun segment spécial propre. 

 Alors (4*" caractère de (i) P contient une portion P, sur la totalité d<' 

 laquelle G', existe, est continue et est résoluble. Comme la variation de G, 

 sur chaque contigu à P, est nulle, ainsi que, sur une pleine épaisseur 

 de P,, la dérivée approximative de G„, G^ est constant sur P,, donc sur le 

 segment des extrémités de Pj. P, n'appartient donc pas à L, ce qui est con- 

 traire à l'hypothèse. 



■2" L contient une portion () dont chaque point est intérieur à une infinité 

 de segments spéciaux de L (donc de Q). On détermine dans () une 

 portion Q, telle que les nombres to(T) formés avec G et les segments 

 spéciaux de (J, forment une série convergente ( 3*' caractère ). 



Ou en déduit, en négligeant les segments spéciaux supérieurs à un 

 nombre i aussi petit qu'on le veut, que la différence des valeurs de G,, sur 

 deuv contigus quelconques à Q, est nulle. Enliu, la variation de G sur Q, 

 étant nulle [d'après la convergence dèsfo(7)]. G est linéaire entre les extré- 

 mités de Q,, ce qui est encore impossible si Q, est dans L ( ' ). 



3° Sont partout denses sur L, à la fois les points appartenant à une infi- 



(') Les conséquences tirées dans celle étude du Iroisième caiacléie des fonrlion- 

 résolul)les (2, .1} subsisteraient si on le reiupla<-ait par le caract''re sui\;ml inoiii- 

 restrictif. 



(^uei que soil rensenibje parfait I' possédant une infinité de segments spéciaux 7. 

 les points de I' au \oisinage ilesquels la somme est non bornée des quantités '.1^7 ) 

 relatives à des segnieiits <y en nombre quelconque deux à deu.\ extérieurs l'un à l'autre,, 

 ces points forment un en3emi)le non dense sur I*. 



