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dont le rayon dépend seulnient de a„, a,, et non des autres coefficients 

 «2> «:)>•••) (im^-'-ià l'intérieur duquel la fonction \x(x) possède un point 

 singulier ou prend au moins une fois l'une des valeurs zéro et un. 



2. En utilisant une méthode indiquée par M. Rémoundos dans son 

 Mémoire (') « Sur les fonctions entières ou algéhroïdes », je me propose 

 d'étendre ce nouvel ordre d'idées à une liasse de fondions a = o(j;) multi- 

 formes dans le voisinage du point .;■ = o, 1res étendue, définies pai' une 

 équation de la forme 



F(a-, «) = Ao(.r) + A, (,r)(/ + Ao(a-)"^ + ----^-A„-,(j:) ('"-'-)- P(.r, n); 



les coefficients peuvent être singuliers pour x = o et même non unifoimes 

 dans le voisinage de ce point. 



La seule hypothèse que nous faisons ici est celle qui concerne la fon( 

 l'on P (,r, u) laquelle doit avoir la même valeui' ^(x) pour « = o et m = i 



Supposons que dans un cercle ] o-' j <[ r la fonction u = 0(0") ne prenne ni 

 la valeui' zéro, ni la valeur un : il est évident que les deux fonctions 



F(.r,o) = Ao(.r) + ,/(,*•) 



F(.r. ,)z=Ao(.r)+A,(x)-^...+ A„_,(.r)+y(.i')=^F(''-o)+A,(.r)^...+ A„__,(.0 



ne s'annulent pas à l'intérieur du cercle i-x'! ■< '", et, par conséquent, nous 

 aurons la même chose pour la fonction 



l"(j% 1) _ l-"(.z-. o ) 



A, (./■) + A,(.r) + . . . + A„_,(.i-) - ' "^ A,(./)-^A,ta-) + ...-i-A„_,(x) 



si nous nous plaçons dans le cas où la fonction 



A,(.0^-A,(x,4-...+ A„__,(.c) 



est finie, dans le cercle | ;!■ | <! '", bien entendu, 

 l'osons 



F(.r, o) 



-(,r): 



A,(.r) + A,(a,-)-t-. ..+ A„..,(.r) 



la fonction 7(.r) dans le ceicle |a;|<^r ne prend ni la valeur zéro, ni la 

 valeur un; alors si 'j{x') est régulière poui- o; = o, 



(7(.r ) = y„ -h y, .r -+- y, .r^ + . . . + y ,„ ,r"' -+-.... 



et si y, ^ o il existe, en vertu du théorème de M. Landau, un cercle 



(') Annales ilr C lùnlc .\iirin<ile safx-rieiin- de Paris, Z' série, l. iJO, 191 J, 

 p. 388-393. 



