838 ACADÉMIE DES SCIEXCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUi;. — Sur les séries de Dirùlilel. 

 Mole de M. Fritz Caulsox. présentée par M. Hadamard. 



Dans la théorie des séries de puissances on démontre le lliéorènie suivanl : 

 Soit/{:v) = 1 ((„x" régulière et bornée pour j x \'<C i : alors la série I! | a„ \- 

 converge: en posant \J(x) ^ M pour \.ï-^ <^i on aura 



.le veux étaljlir ie même tliéorème pour les séries de Diriclilct les plus 

 générales 



il) J'i s \ -7(?„e '"'; /.„.]>'/«• 'il • ^• 



rmcoiîKsn: I. — Supposons la série (i) convergente pour une mleur finie de s 

 '«/, plus généraleinenl^ sonimahle par les moyennes lvpi<iues e'» en un point 

 fini set d'un ordre fini /.. Supposons la /'onction fis) régulié/e el hoi née 

 pour -j > o. Alors la série ï [ n„ |- converge : en posant ' fis) | "^ M pour c > o 

 on aura 



Démonstration. Soit o > o arbitrairement pelil . l)'après la théorie île 

 la sommation des séries (\), on a 



( ■>. I y'i •> o ^- i/) =z V flf„ e-'«'-5-'^'" 1 1 - ..-'«-'" r'- -i- o 1 1 ''"' ) 



unit'ormémenl en /. On en déduit pour la quantité conjuguée 



I i I J'i>r] - il) — "S â^^ e-'.. -''■-"> t r — (''■.,-<•> |-'- ^ Oie '"•' I. 



\Iulti{)lions membre à membre les deux formules ('2 ) et ( J) i 



I i I I Al :!f; : It i j- - 



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-r 2^ ^ <ina,„e ''„•-'■.„'■-'' ',. '„.'''i i - t''„- "M''mi ~ f'-..,-'"!'- 0(f-^"') 



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