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de puissances. Donc il n'existe aucun nombre/* <^ -2 tel que la série 



soil nécessairetnenl convergente ( théorème de M. Carlcman ). 



Signalons quelques conséquences qu'on peut tirer de notre théorème en 

 le combinant avec l'inégalité de Cauchy 



TiiÉonKMi. n. — Si la série (i) (^supposée somma hle) reprî sente une fonc- 

 lion légulie're et hornèe pour t ^ o, on aura 



|"i 1 + |«2| +. ..+ |r/„|^M^'/(. 



Si. 'fie plus, les fxposanis '/.„ vérifient la condition 



,.~<.l.+t,l„ -^ 0(/„ + i - "/.„ ). /. ^ o, 



la série ( i ) converoe absolument pour 7 > -• 



Pour X„ = log// (X' = i), ce théorème a été démontré par M. Bolir. 

 l'^nfin. considérons deux séries 



(,6) /'( VI r_^V^/„ ('->„% -t.s\ —S" f>„e-''..% 



toutes les deux sommables et représentant des fonctions régulières et 

 bornées poui' cr^o. 'Tout d'abord, on en conclut la con\ergence de la 

 série 



lùisuite, en substituant à la relation (3) celle qui correspond à la fonc- 

 tion g(s), et en répétant les considérations précédentes, on arrivera à 

 l'addition suivante au théorème de la moyenne de M. Hadamard : 



TiiKoiiiùMK III. — Supposons 1rs séries (6) sommnhles et les fonctions f (s) 

 et g {s) réi^uliéres et bornées pour 7 <^ o. x et ,r désignant des (juanlilc's 

 réelles, on a 



1 i III - / /i'7 -^ il) i(('7 — (/)d/='y a„ l/„ t'--' ..' 



uni I armement en y. et en n pour tjIO > o. 



