SÉANCE DU II AVRIL 1921. 9OI 



ANALYSl^ .MATHÉMAi'IQUi;. — Les polynômes v d' Hcrrnile-Didon et les fondions 

 de Laphire dans l' hyperespace . Noie (')de M. Piekre Humbert, présentée 

 par M. Appell. 



Nous avons rencontré réceiiiinenl(-) les polynômes V'„,.„(^.7) d'Hermite 

 dans l'expression de la fonction de Laplace en coordonnées hypertoroïdales. 

 Montrons qu'une infinité de changements de variables analogues, dans l'iiy- 

 perespacc, conduira encore à des fonctions de Laplace où figureront ces 

 mêmes polynômes à 2 ou à n variables. 



I. Considérons d'abord, dans l'espace à trois dimensions, le changement 

 de variables 



(1) ,r =r l-'(p, c) coso, j' 1= F(o, ff) slno, ;=«P(p, ct), 



que nous supposerons orthogonal. 



On écrira aisément l'équation de Laplace AlJ = o sous la forme classique 

 indiquée par Lamé, et l'on en obtiendra immédiatement une solution en 

 posant 



(2) U = U,(p, (7) siii(//( -H 1)9, 



la fonction U, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles 



où 



Ceci posé, nous, déduirons du système (i) un changement de variables 

 dans l'espace à \ dimensions par les formules 



.r — « F('>, 0-), y=t'F{p,r;), ;: = ^/i - «■-— r- F(p, 7), / =; <I>( p. ct). 



Si l'on forme l'équation de Laplace dans ce nouveau système (qui n'est 

 pas orthogonal), on trouve, en tenant compte de (i), 



vHSv'i — «-—!■-' — — • 



( àiil^i_„i_ç2 du y',_„2_,.i de 



d [ 1 - c^ d\J iiv ()U' 



^ (^'' Lv'i — ('■'— ''^ ài' sJi — u- — K-' ait ^ 



(') Séance du 4 avril 192 1. 



(-) Comptes rendus, t. 171, 1920, p. iii6, 



C. R., 1921, I" Semestre. (T. 17^ N- 15.) 68 



