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Si l'on développe alors les termes contenant les dérivées par rapport à u 

 et V, on recounaitia les premiers termes d'une équation difTérentielle unique 

 vérifiée par les polynômes d'Hermite, vv„„(«, r),et l'on sera dès lors amené 

 à mettre la fonction de Laplace sous la forme 



où la fonction L^ satisfait à l'équation, analogue à (3), 



II. On étendra ce lésnltal à l'espace k n -^ i dimensions en considérant 

 le changement de variables 



.r, ir= f(, F(p, (7 ), .... X„r= /^„F(p, !7), 



.r„+i m y I — »j — . . . — iifj l'(p. 5-), a-,n_2r:r «Pi p, c). 



La fonction de Laplace pourra alors être mise sous la forme 



I = U„(p, 7)"C' ,„,... ,,„„< "i, . . ., "„)■ 



"O étant le polynôme généralisé par Didon, et l „ satisfaisant à 

 i) r,, /S' ôVA ,) 1,. 'K <)\ A 



— ( /« , 4- . . . -H /",/ -)- I ) ( w I 4- . . . -- '"„ + n F" '^ \J^ U„ =:; O. 



Celte formule générale s'applique d'ailleurs aussi à l'espace ordinaire, 

 /? = I, si l'on se souvient que la fonction i;»,„(m) à une variable est égale à 

 sin [(/n -{- i)arc cos// 1, donc à sin(/n H- i)o si l'on pose u = cosçi. 

 III. E.vemph's. — a. Partons des coordonnées cylindriques 



j.'^pcoso, T^psiri'j, G = ;, 



où l'on a donc F = p, <I> =: 7. Nous en déduisons le système à 4 variables 



.r=ii^j. r = cp. --'—y V''' — "- - c-, / = /, 



où les liypersurfaces a = const. sont des hypercylindres ayant pour base 

 dans l'espace des xyz le cône (ir — i)x'- + «'( r'' + -') = o. On ttouveia 

 aisément dans ce cas une solution de l'équation (4), et l'on pourra mettre la 

 fonction de Laplace sous la forme 



l;=p =J ri''/o)t-''' V\„,„(», r 1, 



J étant la fonction de Bessel. 



