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les courbes -1 , ircllcs ou ir/uigi/iaires, donnent loti/es les surfaces réelles 

 applicables sur le paraboloïde de révolution, et, qu'à titre d'asymplotiques 

 des surfaces à courbure totale constante, positive ou négative, elles jouent 

 un rôle important dans la détermination de ces surfaces. Aussi, les 

 courbes ci non unicursales que j'ai citées étant toutes du type hyperellip- 

 tique. je me débarrasse de cette restriction qui n'avait rien d'essentiel et je 

 donne de nouveaux exemples pour lesquelles les coordonnées d'un point 

 courant s'expriment rationnellement au moyen de deux variables x, y liées 

 par la relation v" = -r'""^' — .r, ni et n étant soit entiers, soit fraction- 

 naires. ;;o. Ces exemples sont tous imaginaires; je donnerai bientôt des 

 types réels différents. - 



La rechercbe d'une courbe A. algébrique revient à tracer sur la splière 

 J.2 _i_ ,/j _i_ _2 _ j yj^g courbe algébrique m. lieu du point (c,c'.c") telle 



1 , . c -h rc' r -h ic' , . ■ • . . i f '/'/ 



quen posant u = r' <' = 7 les trois mtegrales / , 



' '^ I — c I + r ^ J (" — '■) 



/v dit /■ c- (/(/ -Il 1 • 1.1- 



: T' / , 77 prises le long de iti. soient algébriques. 



2. llestant dans l'esprit de ma Note du 2 février 191/1, j'écris 



( 9 = A, //""+■< + A,//''"')""'^. . .+ A/,^, p^, 



it/, n, s étant soit entiers, soit fractionnaires, < o, h un entier positif. les A 

 et R des constantes. Les trois intégrales en (juestion sont algébriques, guel 



que soit K, si les cinq intégrales l^^du, j <)ii(/u, jh-i/u. jh-udii. 



ny-ii-dii sont algébriques. Ln posant ],,_-- j u~'jj' (/p, la formule de 

 récurrence 



{2) I ///■ ~[-,(»l -r- \)( /l — k)]\, „,.,■/. — \lir ,11— /. |l,.,, = /y' (/"-<■ 



montre que (si « :^ i, 2 ou 3) les coefficients A,, Ao, . . . , A/, ., sont liés par 

 cinq relations homogènes, dont deux linéaires et trois quadratiques. SiA>5 

 on trouve des solutions ci à A — 4 arbitraires; si l'on élimine deux A. le 

 calcul revient à trouver les points communs à trois quadriques de l'espace 

 à /i — 2 dimensions. Il peut exister certaines solutions impropres, évidentes 

 a priori, et alors la recherche se simplifie encore : ainsi, pour // ^ 5, * = o, 

 rn^='j,^ la solution impropre = A/r"+ a (A, a constantes arbitraires) 

 montre que les trois quadriipiesderespaccordiiiaireontune droite commune 

 à éliminer et il reste quatre solutions et non plus huit; en supposant de 



