SÉANCE DU l8 AVUll. 1921. fjS:") 



|ilus II -^ 4) 'c genre obtenu est 3, le plus fail)l(' possible, puisipi'il s'iii;il de 

 courbes non hyperelliptiques. 



Pour n = ?), l'intégrale hy-ird(iQsl automatiquement algébrique, une 



relation (juadratique disparaît; pour hil^, on a des solutions à/ï — 3 arbi- 

 traires; pour h = 4, on est ramené à trouver les points communs à deux 

 coniques; pour h = 5, on est ramené à Tintersection de deux quadriques de 

 l'espace ordinaire et si de plus m = 3,.f = o. la solution impropre = "Am" -h u. 

 fournit une droite commune à rejeter; sur le reste de l'intersection on peut 

 alors exprimer les A rationnellement au moyen d'une arbitraire K' et les 

 courbes -1. obtenues sont de genre 3, dépendent des deux arbitraires K et K'. 

 Pour n = 2, le procédé réussit encore et donne cette fois des courbes 



byperelliptiques, on n'a à étudier que les trois intégrales /'JfA/, / 0-r/«, 

 / fy-u^du. Entln, pour « = i, les formules (i) donnent (\xpli<i(ement sans 



calcul des courbes et unicursales. 



3. La recherche des courbes algébriques à torsion constant<' conduit, en 

 générai, à des calculs inextricables; pour le type adopté ici, les calculs se 

 réduisent presque au minimum et se font sans elïoi t. Mais, avec un choix 

 convenable des nombres m, «, s, />. on peut encore diminuer les calculs. La 

 lorniule de récurrence (2) montre, en effet, que si le coefficient de gauche 

 ni' -h (m -h 1) (n — k) est nul, la série d'intégrales I, ,,, !,._„, ,,, 1,_2..„ /,, •• • est 

 algébrique, la série I,^,„,,, I,^»,,,/., .•• transcendante. Si le coefficient de 

 droite nr -+- n — k est nul, c'est l'inverse. 



On reconnaît aussitôt que, si l'on prend =^"' Ay/j'"', où les / sont 



entiers o et si /; =; ■ — ou /i = — - les cinq intégrales étudiées ici sont 



automatiquement algébriques, parce que cinq coefficients de gauche ou 

 cinq de droite sont nuls; pour n = on doit supposer /^ — — si < > o 



ou y^ 2/ — I si t <Co. Pour /; =-. — on doit supposer J^2t + i si ^ > o 



ou /^ si /•<o. Les courbes l ainsi obtenues sont, malgré l'appa- 

 rence, unicursales : il suflit de prendre//", au lieu dey;, pour nouveau para- 

 mètre. Ces courbes, obtenues eœplicilemenl sans calcul, possèdent des pro- 

 priétés iinpoitantes sur lesquelles j'aurai l'occasion de revenir. 



Si, maintenant, j'égale à zéro un coefficient de gauche convenablement 



