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La fonctiony de p est positive pour les valeurs positives de p. Par des 

 considérations ^géométriques élémentaires, on peut obtenir les résultats 

 suivants : i" la fonction/' est négative pour p ^ —r, ce qui donne l'inéga- 

 lité (i); 2° /' est aussi négative pour p = — R, et en conséquence on a 



lp,-p2l>H-/-, 



p, et pa étant les zéros de la fonctiony, d'où l'inégalité (2). 



Des considérations particulières montrent que le signe d'égalité, dans (2), 

 n'est valable que pour le cercle, c'est-à-dire pour R =r. 



Soit maintenant G une surface simple fermée convexe : la projection 

 orthogonale de G dans la direction de coordonnées sphériques (ç, '>{') est une 

 courbe convexe de périmètre jo =/j(çp, '.[/) et d'aire /^/(if, ^). D'après 

 Cauchy, l'aire ct de la surface peut être exprimée par l'intégrale 



(3) (7= — / 2fd(,: 



l'intégration étant étendue sur la sphère de rayon i. D'autre part, nous 

 envisageons l'intégrale de contour 



(4) /. = — fpfh.u 



Pour la surface parallèle (extérieure si p > o) G' de G à la distance p, on 

 a l'aire de la projection 



('5) /'^7rp^ + /;p + /, 



et pour des valeurs de p telles que 



-R(9, ^)<p<-/-(9, I), 



/' est négative, sauf dans le cas où R =; r. Dans ce cas, la projection est un 

 cercle et /' est égal à zéro pour p = — R = — r. 



Soient R,„ le minimum de \\{o, '\) et /•„ le maximum de r(o, '-p), on voit 

 facilement que '"jifR,,,- 



En intégrant (5), on trouve l'aire a' de G' exprimée par 



Pour d'-s valeurs de p telles que 



— K„,<p</-M, 

 a'(çp, 'ji) est négative, sauf dans le cas où toutes les projections de la surface 



