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l'^iiliii, l*„(.'', a) se met sous l'orme de dérivée //"""' 



Il \ ll.l" 



Poura = i, les polynômes P„(.t, n) se réduisent, à un fadeur constant 

 près, aux polynômes de Laguerre ( ' ). l'.n faisant a ^ i qV en rcmplarnnt .r 

 par — X, ces polynômes se réduisent aux polynômes d'Abel ( - ). 



2. Considérons maintenant les polynômes P„(^, ci) comme fonctions 

 de a. Ils satisfont alors à 



'/=P„(.z-. a) r V -,dV„[.r.a\ 



a ■ p- kr -i- ( 2 /i — 1 ) rt 1 ; II- y ,A T , (i) z^ o 



da- ^ da 



et peuvent se mettre sous la forme de dérivée /('''""' 



P„(.r. rt ) := I- II' 



-1 _ _ ,/„ 



~da~„ 



En comparant cette expression à celle obtenue précédemment, on obtient 

 l'identité 



j'^.nlin, les polynômes P„(a', a) vérifient la relation 

 dV„{.r, a) 



da 



= /;P„ ,(./■. a\ 



Ils appartiennent donc à la classe des polynômes de M. Appell ( ' ) : Icui' 

 fonction génératrice a pour expression 



. , h X h- x'- h^ r' A" r" 



' I ! I I 2 ! ■> ! û I j ! ' ' ' ~^ II'. ii\ ' ■ ■ ■ ' 



elle satisfait à l'équation difrérenticlle du second ordre 



, r/'o do 



''7ÏÏ? ' ^]-^'^~"' 

 et à l'écpiation aux dérivées partielles 



à 



Oh àx 



= o 1 A , x). 



(' ) Œittres de f^agtierre, t. 1, p. l\i^. 



(-) Œuvres d'Abel, t. 2, p. 2<S.'i. 



(■■ ) .S//r une clause de polynômes ( Annales de i Ecole Normale supérieure, iSSoK 



