SÉANCE DU 9 MAI 1921. Il53 



."). D'une fjiron générale, 011 peut appliciiier aux polynômes l'„(-^", «) 

 loules les indications données dans le Ménioiie eilé de M. Appell. Gest ce 

 (pic nous montrerons dans un travail (jui sera pnhlié ailleurs. 



ANALYSI-; MATHÉMA'l'l'^UE. — Sur une ri'pirspntdliiui des poly/io/ites 

 par lies in /('■ivraies. \ole de M. A. Ax«ei,rs«:o, présentée pai' M. Appell. 



I. Vi(u) éld/it une fonclinn liurdanl Je même signe pour u compris dans 

 rintcrvallc {a, h), à tout polynôme P„(.r ), du degré n en .r, on peut faire 

 correspondre un polytiome II„( u ). et un seul, du degré n en u, (et qi/e l'on ail 



(I) ¥„{x)=i K{u){,r-^ ii)"\\„{u) 



du. 



En effet, en identifiant les deux membres, on obtient un système de 

 // -+- I équations linéaires pour déterminer les n + 1 coefficients de n„( u). 

 Il ne peut y avoir indétermination, car si l'égalité (i ) était satisfaite aussi 

 par le polynôme n„( u), du degré n en », on déduirait que 



f iv(«)"'[n„-n;,]^/// = o 



pour? ^o. I, ..., n, ce qui est impossible, vu que Iv(h) ne change pas de 

 signe lorsque u varie de a à b. 



'1. Si l'équation P„(j7) =^ o a p racines réelles et distinctes, toutes supérieures 

 à b ou toutes inférieures à a, {l) > o), Véqualion II„(.r ) = o aura p racines 

 réelles, comprises dans Vinterialle (a, b). 



Soient i\,r^^ ...,/-^lcs p racines de P„(.r)^o. Nous les supposerons 

 toutes supérieures à b et ordonnées de telle faeonquc /•, > '■■_.> ... >/■/,> b. 



De Féiialité 



/' 



K ( » ) ( r , — u )" II„ ( u ) du == o 



on déduit que Hjj^//") doit clianger de signe lorsque u varie de a à b\ 

 1F„(//) ~ oa donc au moins une racine dans cet intervalle, que nous dési- 

 gnerons par p,. Supposons que, aux i — i racines ?', , r.^, ..., r/_, de P„(a7) = o, 

 correspondent les i — \ racines p,, p^, ..., p,_i de IT„(^) = o comprises dans 

 l'intervalle («, b). Notre proposition sera démontrée si nous prouvons que, 

 à la racine /•,, correspond la racine p, de Ilnfa-") située dans le même 

 intervalle. 



