II 54 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons pour cela le polynôme du degré n en u 



(2) 



H(")- 



("- '■■)" 

 (p.-'-i)" 



yu — r.,)" 



.-'•.)" (? 



r,)" 



(p,-_,— /•,/' 



et cherchons le nomhre de racines de ce polynôme inférieures à h, ou, ce 

 qui est la même chose, le nomhre de racines positives de ll(/> — //) = o. 

 En développant le déterminant ( 2). l'équation précédente pourra s'écrire 



(3) 



/.i((/ + y.^Y + >..,(// ^ y.-:.)" + . . .^'l.,(a-\- cz,)" = o, 



où a,, a^, .... X, représentent respectivement les (piantités i-, — h, 

 r., — />, ...,/•, — h, donc des (juantités positives dccroissantes^ et les coefficien ts 

 A|, A^,. .... A, résultant du déterminant (2). D'après le théorème de 

 Descartes, le nombre des racines positives de (3) ne peut dépasser le 

 nombre des variations de signes que présente la suite 



(4) ),i +/., + .. . + >■„ ).,cz,h->.2»;î 



l,y-i, 



. , À, a'I -H X, 5;!; -h ... -t- À,»;'. 



D'après des résultats établis par Laguerre (^'). relatifs au nombre des 

 variations de la suite (4), il résulte que le nombre des racines positives de 

 l'équation (3) est au plus i — i. Donc l'équation R(//) = o, qui a pour 

 racines les i — i quantités s,, Oj, ..., p,_, inférieures à h, ne. peut (noir 

 d'' autres racines inférieures à b. Posons 



Alors 



r(M) — (" — pi)(" — p.') ■■ • (" — p-i)- 



(5) 



[\(,/)=^{u)S{,i) 



et n„(K) = r(//)cr(fO- 



Lorsque // varie de n à /^,le polynôme S(//) garde un signe constant ; si le 

 polynôme 'y(ii) change de signe, il résultera que 1T„(//) admet encore une 

 racine p, dans cet intervalle. Mais des /égalités 



/' 



K ( // ) ( /•_, — a)" II,, ( (/ ) du = o 



(y = '.-.', 



il résulte que 



f \\(ii)\\{ii ) n„ ( Il ) i/ii = o. 



(') Sur lu lliciirie des é'jualions iiinurrii/iics [f >lùi\'res, l. 1. p. >-). 



