SÉANCE DU 9 MAI 1921. il55 



En remplaçant, alors, R(//) et H„(«) par leurs valeurs (5) nous voyons 

 ([ue celte égalilé ne peut avoir lieu (|ue si 7(«) change do signe clans l'inter- 

 valle (a, h). 



Notre proposition se démontrera, de même, dans le cas des racines 

 /•,,/•.. .... r, toutes inférieures à et. 



15. Prenons le polynôme P„(-r ) sous la forme 



l'„(.r) =: a„.r" — C,',«,.r"-' -h Cj,(ux" --... + (— 1)"(/„. 

 Alors, de l'égalité (^i) il résulte 



(G) / K(/0"' II,..(") <^''" = ^'' (('r^o, i, a, . , ., «)• 



Donc, le polynôme U„{u ) généralise le polynôme orthogonal du degré n 

 correspondant an noyau K("), qu'on obtient en faisant 



, = a,,_i = o. 



Des égalités (G) on déduit facilement que. si /* est impair, on a 



D'autres propriétés des polynômes n„(w) en rapport avec les polynômes 

 orthogonaux et les polynômes de la classe de M. Appell font l'objet d'un 

 Mémoire qui paraîtra dans un autre recueil. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence, des développements qui 

 expriment les racines de l'équation iilgèhrique générale par une somme de 

 fonctions hypergèométriques de plusieurs variables. Note de M. Richard 

 ItiRKELAXD, présentée par M. K. Goursat. 



i. Dans une Note précédente! ') j'ai montré qu'on peut résoudre l'équa- 

 tion algébrique générale par une somme de fonctions hypergèométriques 

 de plusieurs variables. Nous allons généraliser les développements. Consi- 

 dérons l'équation générale du degré n : 



(1) r„.v" + /•„_, jf"-'' + . . . + /■oa'-+ r,.r + /•„ = o. 



Soient^ et q {p > q) deux des nombres o, i, 2, ..., n. Ecrivons (i) sous la 



l'i Comptes rendus, l. 171. lyao, p. i3-o. 



