SÉANCE DU 9 MAI I921. llS; 



déinonlicms que celle l'oiiclion est une fonction hypergéométri(|ue de 

 plusieurs vai'iables '^1, L, . . ., '^„_,. Si nous désignons par s„ le resle positif 

 de s mod{p - - y), les racines r,, c., .... i'/,_,, de (2) sont données par la 

 somme suivante de fonctions hyperjj^éomélriqucs 



(;y) ,v=^v' „+— 1— - V v;:",/f./^.../^'^-^| 



■/. 1 , X , 



la somme 1, étant élonduc à loules les valeurs o, i, 2, ..., p — t/ — i de 



■/.,, x^, "'^„-i- Pour/> = «.(/ = !, nous retombons au cas traité dans ma 



Note précédente; seulement les notations sont un peu changées. 



2. Les conditions nécessaires el suffisaii les pour la convergence des séries 

 hvpergéoméiriques de plusieurs variables sont dans le cas général données 

 par M. Horn ('); nous allons pourtant directement donner une règle suffi- 

 sante de convergence car les conditions de M. Horn sont très compliquées 

 à appliquer. Désignons par m le plus grand des nombres n — q et q, et par a 



et P.. les nombres "' el 1 -(' — 1). . .(t — /• + 2) 1. .Nous avons alors 



p -q \ ^ ^ -^ I 



It I < ( nir -h /) — r/ — i) < a/' + 1 



p — q 



et 



!',.< {ar + \)(ar + 1) . . . {ar -^- r — 1) = («/■)'■ 



n 2 r - 1 



P,.< («/•)'■ -'e''t'"'. . . c "'■ = iary- 



La valeur absolue de la somme de tous les termes de (3), correspondant 

 à une valeur déterminée de /•, devient donc moindre que S,. — en posant 



D = I /, I + j /_,| 4-. . .+ |/„_i ]. La série (3) converge donc si la série 



converge, et cette série converge si 



(6) D=- |/,| + I /,]-+-... + 1 /„_ 



/; — 'l-i 



3. Les quantités Z,,/., ...,/„_, sont exprimées par les coefficients /•„, 



(') Malheinatische Annalen, t. 'ik. p. ô44- 



