Il 58 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



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On peut toujours cxpriiwr une fonction algébrique par une somme de 

 fonctions hypergéomètriques d'un certain not)d)ie de variables, car si Ton ne 

 peut pas, en choisissant convenablemenl les nombres/; et c/, obtenir des 

 développements convergents, nous posons 



T, ^=- a„ + f/, .r, 4- '"'j.r; -\- . . .-\- a„ ^ i-*"/'^' ('' = i , '■') ...,«)■ 



D'après le théorème de Tschirnhausen, on peut, en choisissant convena- 

 blement les indéterminées a,,, «,, ..., «„_,, obtenir que les coefficients de 

 Tcquation en K soient des nombres quelconques. 11 est vrai qu'il faut pour 

 cela résoudre des équations de degré élevé, mais de cette possibilité il 

 résulte qu'on peut choisir les indéterminées «„, «,,..., a„^^ telles (|ue l'iné- 

 galité (6) soit satisfaite; pour cela, il n'est pas nécessaire de résoudre des 

 équations algébriques. 



GÉOMl'yi'RlK INl-IMTKSIMALK. — Cour/n's /tlgéhriqucs réelles non unicursabs 

 (t torsion constante. Note (') de M. ItmiKANu Gamkifu, présentée par 

 M. (i. Kœnigs. 



I. J'ai indiqué dans ma Note précédente (- ) des courbes algébriques -l, 

 imaginaires, à torsion constante. J'indique cette fois des courbes et réelles, 

 de degré et genre arbitrairement grands, correspondant birntionnellemenl à 

 la courbe plane d'équation v" = — •. m et n étant deux nombres entiers 



r T .. I _^ ci.c'" 



et a une conslante. 



Je rappelle qu'au point de vue de la recherche des surfaces réelles appli- 

 cables sur le paraboloïde de révolution, il est indifféreiil que la courbe 4 à 

 torsion constante soit réelle ou imaginaire; on avait même semblé croire 



{') St'aiice du 2 mai i(|2i. 



(-) Comptes rendus, l. 17*2, 1921. p. yJo. 



