SÉANCE IJU 9 MAI t92I. II.')9 



nécessaire (iiic ri, fût imaginaire, pour que la surface soit réelle; il n'y avait 

 là qu'une simple équivoque, tenant à ce fait que, si c1> est réelle, il faut 

 d'abord lui faire subir une homotbétie de rapport ± i poiir appliquer la 

 construction classique indiquée par Darboux (Théone des surfaces, t. .'{). Si 

 la courbe A- est réelle, la surface oblenuc possède un centre, tout au moins 

 si cl, est algébrique, et ceci explique pourquoi, en général, l'oblenlion de 

 courbes -l. réelles est plus difficile que si -1. est imaginaire. 



Puisqu'il s'agit de courbes réelles, l'indicatrice m. des torsions sera définie 

 au moyen des coordonnées 7, [^ avec y. = _ „ et p = _ _„ ; les intégrales 



/ — '-^^^ — . / — ^^-^ — , / ^ '^ ^' , prises le lonsr de m. doivent être algé- 



briques. 

 "2. J'écris 



(■) 



_ _ ,. {{>/'" ^ »)!'(, +«7"')"-^'[v'^'"""'+ li,v'^'^^"" + .. .-f- H/,-i1 



Ay/"''-+-A,v '■'-""• + . .. + A,, 



„ I V ('/'"+ «)""''(' + ar/'")'' [i + B,v"' + . . .+ n/,_,7i'''-'""l 



0=7 — 



7' A + A, 7'" -H. . .-+- A;,7'"" 



Les entiers m, /-, n,p, n — p, h sont positifs; m et r premiers entre eux; 

 n et/> aussi. L'un des radicaux étant calculé, la détermination de l'autre est 

 choisie de façon que le produit donne ((/'" -\- a) (i -i- aq'"). 



Nous avons 2/1 -+- i inconnues A, A ,, . . . , A/,, B,, . . . , B^_|, a. L'identité 



(2 ) (A.i-'' -H A,x''- ' + . . .+ \,, ) ( A + A,x + . ..-+ \,,x'') 



+ (.r + n)(i ^ rt, f )(.(■''-' -^...+ B/,-,)(i-+-. ..-+- B/, _,.t''-'i = /.,r'', 



OÙ A est une constante, fournit /i conditions pour que m. n'ait à l'infini que 

 lespointsr/=oeli'/ = 3c. En raison de la symétrie ;0j", il suffit que / - — — ^1 



^soient algébriques, la première porte sur une fraclion rationnelle 



/ 



(H-a,3 



en X := g"\ dont le dénominateur esta*-''"', elle donne une seule relation. 

 Pour l'autre la dérivation donnant aisément 



y. dfj " <l\'ih+\ 



où P^/,4.1 et Po/i-_i sont des polynômes entiers en x de degré ili + i et 

 ■ih — r , on aura à écrire 



/■('■I'5/,4-,+ '«.rP,/,_,)(i-+-B,.ï -+-...+ B,,_,.f" ')-" 



V (a- 1- a)" ''(1 -4- ajcy dx 



_ y (.r-+- a)-^"-/'(i -1- rt.t-)"" 'M^)(.<) 



